Calculer les premiers termes d'une suite

Bonjour !

J'ai la suite $un=1n+1+1n+2+1n+3+...+1n+nu_n = \frac{1}{n+\sqrt{1}} + \frac{1}{n+\sqrt{2}} + \frac{1}{n+\sqrt{3}} + ... + \frac{1}{n+\sqrt{n}}$

Et je dois calculer $u_1$ ; $u_2$ et $u_3$ .

Je ne comprends pas comment calculer un terme avec cette formule !

$u1=1n+1+11+2+11+3+...+1n+nu_1 = \frac{1}{n+\sqrt{1}} + \frac{1}{1+\sqrt{2}} + \frac{1}{1+\sqrt{3}} + ... + \frac{1}{n+\sqrt{n}}$ Je fais quoi du dernier terme la ? et de ce qu'il y a "..." ?

Pour le premier terme je remplace n par 1 mais sur toute la formule ?

Merci d'avance pour votre aide.

Bonjour,
L'égalité donnée en définition signifie que la somme est finie et s'arrête à la valeur choisie pour n.
Ainsi , pour n = 1 , il n' y a qu'un seul terme.
Pour n = 2 , 2 termes. etc ...Vérifie quand même la définition : le terme "général" est-il bien 1/(n + √k) ou i/(k + √k) ?

Ok j'ai pensé a faire comme ca.

Cest bien 1/(n+√n) et non pas i.

L'énoncé entier est :

La suite (Un) est définie pour tout naturel non nul n par :
$un=1n+1+1n+2+1n+3+...+1n+n\ u_n = \frac{1}{n+\sqrt{1}} + \frac{1}{n+\sqrt{2}} + \frac{1}{n+\sqrt{3}} + ... + \frac{1}{n+\sqrt{n}}$

Calculer U1, U2 et U3.
Un est la somme de n termes. Quel est le plus grand ? Quel est le plus petit ?
Déduisez-en que pour tout naturel non nul n,
$1n+n\frac{1}{n+\sqrt{n}}$ ≤ $u_n$ ≤ $nn+1\frac{n}{n+1}$ .

Donc j'ai
$u_1 = \frac{1}{1+\sqrt{1}$
$u_2 = {\frac{1}{2+\sqrt{1}} + {\frac{1}{2+\sqrt{2}}$
$u_3 = {\frac{1}{3+\sqrt{1}} + {\frac{1}{3+\sqrt{2}} + {\frac{1}{3+\sqrt{3}}$ ?

Puis déduire la limite de la suite (Un) a la fin.

Achève les calculs de U2 et de U3 : mêmes dénominateurs entiers.

Alors deja :

$u2=3+22+22u_2 = \frac{3+\sqrt{2}}{2+2\sqrt{2}}$ ?

Non : détaille.
U2 = 1/2 + 1/(2+√2)
U2 = 1/2 + écris le second quotient avec un dénominateur
entier.

ah oui et bien je trouve U2 = 1/2 + √2-1 en métant (1-√2) en facteur au numérateur et au dénominateur.

Non :
1/(2+√2) = [1*(2-√2)]/[(2+√2)*(2-√2)]
= (2-√2)/(4 - 2) = (2-√2)/2
Achève le calcul de U2, et celui de U3.

ok. j'ai

$u2=3−23u_2 = \frac{3-\sqrt{2}}{3}$

$u3=15−122+14384u_3 = \frac{15-12\sqrt{2}+14\sqrt{3}}{84}$ je trouve la un truc farfelu quand même lol

Rectificatif : c'est 1/3 au début de U2 , pas 1/2 : corrige en conséquence.
Désolé.

pfiouuuu quelles fautes je fais !

Je trouve cette fois ci pour $u2=8−326u_2 = \frac{8-3\sqrt{2}}{6}$ !!

Oui pour U2 ; pour U3 il doit y avoir des fautes de signes.
Mais tu as raison : est-ce que cela présente vraiment un intérêt compte tenu des questions suivantes ?
Mais puisque tu as commencé , achève quand même le calcul de U3 ( vérifie ).

C'est pas grave, ca m'entraine lol. Pour U3 je trouve (99+12√2+14√3)/84

Cette fois , il y a trop de signes + : lorsque tu "rends entier" un dénominateur , il s'introduit bien des différences ?

oui cest 33-4√2-7√3 sur 42

Je ne trouves pas cela : détaille :
U3 = 1/(3+√1) + 1/(3+√2) + 1/(3+√3)
U3 = 1/4 + (3-√2)/7 + (3-√3)/6 ?
Continue...

jusuque la j'ai juste;

après j'ai (42+24(3-√2)+28(3-√3))/168

Oui , continue , et n'oublie pas de simplifier par 2.

je retombe bien sur (99-12√2-14√3)/84 !

Citation
C'est pas grave, ca m'entraine lol. Pour U3 je trouve (99+12√2+14√3)/84Oui , mais là il y avait des +.

Tu peux faire la suite.

ah oui daccord.

Je comprends pas la question 2 en fait.

Quel est le plus grand de tous les termes de la somme Un :
est-ce 1/(n+√1) , est-ce 1/(n+√n) , un autre ?
De même quel est le plus petit ?

D'accord mais je sais la réponse daprès la question suivante mais je sais pas pourquoi.

√1 < √2
donc n+√1 < n+√2
donc 1/(n+√1) > 1/(n+√2) : les nombres
positifssont rangés dans l'ordre contraire de leurs inverses.
De même : 1/(n+√1) > 1/(n+√2) > ... > 1/(n+√n)

Rebonjour,

donc le plus petit terme est 1/(n+√n).
le plus grand est 1/(n+√1)

La limite de (Un) :

lim de 1/(n+√n) = 0
lim de 1/(n+√1) = 0

comme 1/(n+√n) ≤ Un ≤ 1/(n+√1), on peut dire que lim de Un =0.

Bonjour,
1/(n+√n) ≤ Un , oui.
Mais Un ≤ 1/(n+√1) : non . Ce n'est d'ailleurs pas ce qui t'est demandé .

effectivement. Si je multiplie 1/(n+√n) et 1/(n+√1) par n, je n'obtiens pas
n/(n+√n) ≤ Un ≤ n/(n+1) ?

Non , ce serait vrai si 1/(n+√n) ≤ Un ≤ 1/(n+√1) était vrai , mais c'est faux . De plus , ce ne serait toujours pas ce qui t'est demandé : relis la question : tu dois démontrer que
1/(n+√n) ≤ Un ≤ n/(n+1) .
Observe : à gauche il n'y a pas de multiplicateur n , à droite si .

hop hop hop pardon j''ai fait une erreur d'énoncé.

c'est bien démontrer : n/(n+√n) ≤ Un ≤ n/(n+1) ! DESOLEE

D'accord : l'énoncé est donc :
démontrer : n/(n+√n) ≤ Un ≤ n/(n+1)
Mais pour le démontrer , tu ne peux quand même pas partir d'une inégalité fausse ( Un ≤ 1/(n+√1) est fausse ) .

mais quand on dit que Un est définie par : n/(n+1) + n/(n+√2) + n/(n+√3) + .. + n/(n+√n), j'ai cru que Un est compris (ou égal) entre n/(n+√n) qui est le plus petit terme, et n/(n+1) qui est le plus grand.

Non : Un est une somme dont tu connais l'ordre des termes ( tous sont positifs ) .
Par exemple : S = 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1
Le plus petit terme est 1 , et le plus grand est 6.
A-t-on S ≥ 1 ? évidemment , mais ça ne sert à rien.
A-t-on S ≤ 6 ? certainement pas .

mais oui mais ca je comprends, mais la comme ce sont des n que l'on ne connait pas ! il y en a n. Enfin chais pas je suis complètement a coté la

Ce n'est pas Un qui est compris entre le plus petit et le plus grand : c'est
chaqueterme :
1/(n+√n) ≤ 1/(n+√n) ≤ 1/(n+√1)
1/(n+√n) ≤ 1/(n+√2) ≤ 1/(n+√1)
1/(n+√n) ≤ 1/(n+√3) ≤ 1/(n+√1)
.....
1/(n+√n) ≤ 1/(n+√1) ≤ 1/(n+√1)
Et il y a n termes en tout.
Il ne reste plus qu'à ajouter les membres de ces inégalités.

et bien donc si chaque terme est entre le plus petit et le plus grand, Un lest, donc legalité qui dit que Un est compris entre n fois le plus grand terme, et n fois le plus petit ?

Citation
Un lesttu veux dire "Un l'est" ?
Ce raisonement est faux.
Regarde l'exemple que je t'ai donné avec
S = 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1
Chaque terme est compris entre 1 et 6 ,
mais S ne l'est pas.
Si S = a + b + c + d , où a est le plus grand et d le plus petit ,
on a :
d ≤ a ≤ a
d ≤ b ≤ a
d ≤ c ≤ a
d ≤ d ≤ a
D'où il résule que d+d+d+d ≤ a+b+c+d ≤ a+a+a+a

Bon.

Le terme le plus petit est : 1/(n+√n)
Le terme le plus grand est : 1/(n+√1)

Si on a n termes,

1/(n+√n) ≤ 1/(n+√1) ≤ 1/(n+√1)
1/(n+√n) ≤ 1/(n+√2) ≤ 1/(n+√1)
1/(n+√n) ≤ 1/(n+√3) ≤ 1/(n+√1)
.....
1/(n+√n) ≤ 1/(n+√n) ≤ 1/(n+√1)

D'ou n/(n+√n) ≤ n/(n+√1) ≤ n/(n+√1)
soit n/(n+√n) ≤Un ≤ n/(n+√1)

Voila comme je comprends votre raisonnement

Oui , mais as-tu compris ton erreur ?
On a donc:
n/(n+√n) ≤Un ≤ n/(n+1) ( car √1 = 1 )
Quelle est la limite de n/(n+√n) et celle de n/(n+1) quand n → ∞ ?

oui j'ai compris merci !

la limite de n/(n+√n) et de n/(n+1) est 1. Donc la limite de Un lorsque n → +∞ est 1, d'après le théorème des gendarmes.