EXERCICE DE CONGRUENCE



  • je voudrais des explications pour cet exercice, pour pouvoir le débuter voir même le finir.

    1. étudiez suivant les valeurs de n, le reste de la division de 7n7^{n } par 10

    2.on pose, pour tout entier naturel n :
    A=1+7+...+7nquelleestlechiffredesunitésdeA?mercidavancemodifiépar:couettecouette56,08Oct2005@17:19+7^{n quelle est le chiffre des unités de A? merci d'avance modifié par : couettecouette56, 08 Oct 2005 @ 17:19 }



  • alors pourla divisin de 7^n par 10 j'ai une idée mais je suis pas sur que ce soit la bonne;

    je propose 7²=49=4.10+9
    donc 7²=9[10] et donc 7^2n=9^2n[10]

    et 9^2n =(9²)^n j'isole 9² et je dit que cela vaut 9²=8*10+1

    alors 9²=1[10] d'ou 9^2n=1[10] soit (9^n)²=1²[10]

    et c'est ici que je sais plus si on peut ecrire que donc 9^n=1[10]

    si c'est bon , en poursuivant par le fait que 7^2n=9^2n[10]

    alors : (7^n)²=1[10] et 1 serait le reste cherché.

    je m'occupe de l'exo suivant



  • Salut.
    Il me semble qu'on a
    707^0 = 1 mod 10
    717^1 = 7 mod 10
    727^2 = 49 = 9 mod 10
    737^3 = 63 = 3 mod 10
    747^4 = 21 = 1 mod 10
    et on retrouvera donc la même suite de restes à partir de là :
    74n7^{4n} = 1 mod 10
    74n+17^{4n+1} = 7 mod 10
    74n+27^{4n+2} = 9 mod 10
    74n+37^{4n+3} = 3 mod 10.
    Ceci vient de ce que 747^4 = 2401 = 1 mod 10.



  • Il faut aussi sans doute utiliser le fait que
    9 = -1 mod 10
    3 = -7 mod 10
    pour réduire la somme AnA_n selon les valeurs de n.


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