valeurs exactes de cos pi/8 et sin pi/8 (ex : Fonction cosinus et sinus)

Bonjour, j'ai un petit probléme, je dois faire un DM en maths pour demain mais il y a un exercice que j'ai vraiment pas compris =S si quelqu'un pouvait m'aider ça serait vraiment sympas.

Voici l'exercice :

C est un demi-cercle de centre O, de diamètre [AB] et de rayon r.
M est le point du demi-cercle C tel que l'angle BÂM a pour mesure π/8 en radians.

On projette orthogonalement M en H sur [AB].

a) Quelle est la mesure en radians de l'angle BÔM?
b) Déduisez-en que OH = HM = r√2/2.
a) Démontrez que AM = r√
(2+√2
)
b) Dans le triangle rectangle AHM, déduisez-en les valeurs exactes de cos π/8 et sin π/8.

Voilà alors si quelqu'un peut m'aider svp.. Merci d'avance !!

salut

bon, l'angle au centre (rouge) est le double de l'angle inscrit (vert) cf 3e
d'où sa mesure.
ensuite tu reconnaîtras un triangle particulier dans OHM.

@ toi

OHM est un triangle rectangle.
L'angle OHM = π/4

c'est surtout pour le 2 que j'ai des problémes.

ok je peux pas deviner !

bon alors tu as vu que les côtés sont r√2/2...

pour 2a) essaie pythagore dans AMH : tu connais MH, tu peux trouver facilement AH, et tu calcules AM grâce au théorème.

Oui je m'en doute bien. C'est pour ça que je l'ai dit et pas méchament =/

Pour trouver AH il faut faire AO + HO ?
qui est égal à r/2 - r*cos /4?

Désolé,
c'est r* cos π/4

lol

oui, ou mieux : AH = r/2 + r√2/2 avec la valeur exacte de cos $p i$ /4

@ toi : fais tes calculs !

Euh juste c'est pas r au lieu de r/2 ?

oui oui je ne sais pas pourquoi j'ai mis r/2 mille excuses.

continue !

Okk c'est pas grave ^^ c'est de ma faute.

AM² = MH² + HA ²
= (r√2/2)² + (r + r √2/2)²

ah oui c'est vrai ça : je suis parti d'un truc que tu avais écrit (mais j'ai pas réfléchi).

bon, le début de tes calculs est ok ; tu en déduis

AM² = r²/2 + r² + r²√2 + r²/2
après calculs, oui ? non ?

Euh je ne sais pas j'ai pas tout compris là =S

ok je fais ça moins vite.

déjà pour le début :

$(r×22)2+(r+r×22)2=r2×2222+(r+r×22)2=r2×12+(r+r×22)2\left(r\times \frac{\sqrt2}{2}\right)^2 + \left(r + r\times \frac{\sqrt2}2\right)^2 = r^2 \times \frac{\sqrt2^2}{2^2} + \left(r + r\times \frac{\sqrt2}2\right)^2 = r^2 \times \frac12 + \left(r + r\times \frac{\sqrt2}2\right)^2$

parce que 2/4 = 1/2.

ça va ?

Oui j'ai compris

super ; la suite maintenant. tu sais quoi ? on va développer le carré de la somme ! vois plutôt :

$=r22+r2+2×r×r×22+(22)2\left(r\times \frac{\sqrt2}{2}\right)^2 + \left(r + r\times \frac{\sqrt2}2\right)^2 \ = r^2 \times \frac12 + \left(r + r\times \frac{\sqrt2}2\right)^2\ = \frac{r^2}2 + r^2 + 2\times r\times r \times \frac{\sqrt2}2 + \left(\frac{\sqrt2}2\right)^2$

tu essaies de finir ?

Je dois faire (a+b)² pour HA² ?

Ah bah en même temps

voilà : fais-le !

2rr sa fai 2r?

non : 2rr = 2r².

J'arrive pas =/
Je trouve r² + 2r² *√2/2 + 1/2

vois : 2r² ×√2/2 = r²√2

par contre pour le dernier terme, tu as une erreur : c'est (r ×√2/2)² = r² × 1/2 après calcul

ok ?

je te laisse finir, le match commence.

(je repasserai plus tard.)

Bon je n'ai plus le temps =S désolé.. merci beaucoup pour votre aide..
Bonne soirée. Bisou

bon (c'est la mi-temps, je te donne la réponse quand même pour le développement du carré de la somme :

$(r + r\times \frac{\sqrt2}2)^2 \ = r^2 + r^2\times\sqrt2 + r^2 \times \frac{sqrt2^2}{2^2} \ = r^2 + r^2 \times sqrt2 + r^2\times\frac24 \= r^2 + r^2 \times \sqrt2 + r^2 \times12$

tu en déduis alors que

$AM2=r2×12+r2+r2×2+r2×12=r2(2+2)AM^2 = r^2 \times \frac12 + r^2 + r^2 \times \sqrt2 + r^2 \times12 = r^2(2 + \sqrt2)$

d'où

$r\sqrt{2 + \sqrt2}$

voilà.

dans AMB, c'est mieux que dans AMH pour exprimer le cos de $p i$ /8 :

$\cos(\pi/8) = \frac{AM}{AB} = \frac{r\sqrt{2+\sqrt2}}{2r} = \fbox{\frac{\sqrt{2+\sqrt2}}{2}}$

dans AMH, ça donne...