A velo. Equations, inéquations et fonctions. [seconde]

Bonjour,
je voudrais de l'aide sur cet exercice. J'ai réussi les questions b) et c) mais je ne comprends pas comment faire la d). Pour la a), je sais que l'on doit se servir de v=d/t mais après je ne comprends pas comment démontrer..
Voilà l'énoncé:

**Un cycliste se rend d'une ville A à une ville B. Il effectue la moitié du trajet à la vitesse de 20km/h et l'autre moitié à la vitesse de x km/h.

*a)*montrer que sa vitesse moyenne v(x) en km/h sur l'ensemble du trajet est donnée par= v(x)=40x/x+20.

*b)*calculer x pour que sa vitesse moyenne v(x) soit égale à 24km/h.

*c)*Determiner les valeurs de x pour lesquelles la vitesse moyenne est supérieure ou égale à 15km/h.

d)Montrer que la vitesse moyenne ne peut pas dépasser 40km/h.

Et voilà les réponses que je propose :
a)??
b)je résouds v(x)=24 et je trouve x=30
c)je résouds v(x)≥15 et je trouve x≥12
d)Comment démontrer que 40 est le maximum de v(x) ??

Merci de votre aide.

Bonjour,
Pour la a) :
Calcule : la durée t1 de la prmière moitié du trajet , la durée t2 de la secondee , puis le durée totale t1+t2.

a) $t_1$ = d/2 + 1/20 = d/40
(en considérant que la vitesse est 50km/h)
$t_2$ = d/2 + 1/x = d/2x
(en considérant que la vitesse est x km/h)

Donc si c'est bien ça, la vitesse totale est :
v=d/t
soit v= d / (d/40 + d/2x)
donc on aura :
v= 1/ (1/40 + 1/1x) ??

Est-ce normal de ne pas avoir de valeurs ?

d désigne la distance AB ?
Pourquoi la vitesse serait-elle 50 km/h : c'est 20 km/h .
Pourquoi ajouter 2 fractions pour t1 ? ( et pour t2 ).

distance = durée × vitesse ,
donc durée = distance / vitessse .
Pour t1 : quelle est
ladistance ? , quelle est
lavitesse ?

Ah oui..
Donc pour $t_1$ (t1= 1ere moitié du trajet) on aurait :
durée = distance / vitessse
soit: $t_1$ = distance* (pourquoi disent-ils 40x, d'où sort-il ?)* /20 km/h

Donc t1 = (d/2)/20 , si d est la distance AB .
N'écris pas d'unité à l'intérieur d'un calcul.
Pour le 40x , tu verras à la fin .
Maintenant , fais la même chose pour t2.

Pour $t_2$ = distance / vitesse
soit $t_2$ = (d/x)/x ??

Non : la distance est d/2 , pas d , encore moins d/x ??!! C'est comme pour t1 ( regarde ce que j'ai écrit ) .
t2 = ?

$T_2$ = (d/2)/x alors ??

Oui.
ON résume : t1 = (d/2)/20 = d/40
t2 = (d/2)/x = d/2x
Donc t1+t2 = ? réduis au même dénominateur.

Je sais que le dénominateur commun peut être : 40×(2x).
Mais comment faire ?

Le dénominateur est plus simple : 40x
Tu ne sais pas ajouter deux quotients ??
5/6 + 7/4 = 10/12 + 21/12 = 31/12
d/40 + d/2x = ???/40x + ??/40x = ...

Oui, mais "d", je ne vais pas l'appeler dx non ? Je ne comprends pas là..

dx désigne le
produitde d par x , personne ne t'empêche de l'écrire , mais bien sûr , dx nest pas d ni x : c'est leur
produit.
Attention de na pas confondre la lettre "x" avec le symbole de la multiplication .

Alors si je marque "dx", j'aurais :
dx/40x = (2 + dx)/40x ??? Où mettre le "2" ?

d/40 = dx/40x ( numérateur et dénominateur multipliés par x)
d/2x = 20d/40x ( numérateur et dénominateur multipliés par 20)

Donc t1 + t2 = (dx+20d)40x = d(x + 20) / 40x
t1 + t2 est la durée totale du trajet de A à B
La distance est d
Comment calculer alors la vitesse correspondante ?

V=d/t soit V= d(x + 20) / t1 + t2 ?

Non : la distance totale est d
La durée totale est t1+t2.
Donc la vitesse est d/(t1+t2) ( formule que je t'ai rappelée au début ).
Effectue ce calcul : tu connais t1 + t2 : je t'ai donné la réponse .

V= d/ [ d(x+20) / (40x) ]

Simplifie , calcule le quotient :
a/(b/c) = ?? ( attention aux parenthèses : chez toi , écris avec des barres de fractions ).

Donc ici on aura en simplifiant :
V= d/ [ d(x+20) / (40x) ]
V= d × (40x)/d(x+20)

(Je peut barrer les "d" car c'est une multiplication)
V= 40x / (x+20)

C'est bien ce qu'on te demandait de trouver ? Tu l'as ton "40x" .
Tu peux passer à la suite .

Pour la b), je trouve x=30 à l'équation v(x)=24
Pour la c), je trouve que x≥12 avec l'inéquation v(x)≥15
Est-ce bon ?
Pour la d), je ne la comprends pas..

Pour b et c : d'accord.
Pour la d , v pourrait-elle dépasser 40 ?
Il faudrait alors que 40x/(20+x) > 40.
Résous cette inéquation.

J'ai tout mis au même dénominateur : (20+x).
Jai trouvé que :
40x/(20+x) > (800+40x)/(20+x)
40x > 800 + 40x
40x - 40x > 800
0x > 800
Est-ce juste car x ne peut pas être égal à 800/0 ?

C'est bien compliqué :
40x/(20+x) > 40 <=> 40x > 40(20+x) ( on multiplie tout par un nombre positif )
<=> 40x > 800 + 40x
<=> 0x > 800 , comme tu l'as trouvé .
Mais Que vaut 0x ? l'inéquation admet-elle des solutions ?

x est une vitesse, donc 0x est une vitesse, enfin, une vitesse nule.
L'inéquation admet 800 comme solution non ?

Réfléchis : 0x = 0 ( vitesse ou pas )
On devrait ( conditionnel ) donc avoir 0 > 800 : qu'en penses-tu ?

0 > 800 est faux : 0<800.
et 0x est une vitesse mais pas 0.
Mais par rapport à 40km/h, comment sait-on quel est son maximum ? Est-ce que c'est 800 ?

Ne panique pas : réfléchis : Résumons le raisonnement :

Si la vitesse moyenne dépasse 40km/h , alors 0 > 800

Mais 0 n'est pas supérieur à 800 ( évidemment ) , donc la vitesse ne peut pas dépasser 40 km/h ( ni même l'atteindre ) .

J'ai compris ! C'est grâce à l'inéquation que l'on déduis cela.
Oui, parce-que je ne comprenais pas pourquoi " 0 > 800 " car ce n'est pas possible .. Ce qui confirme l'énoncé : la vitesse ne peut pas dépasser 40km/h. C'est évident une fois fait...

Il y a une autre méthode : as-tu entendu parler de fonctions de la forme (ax+b)/(cx+d) , d'hyperboles , d'asymptotes ?

Non, mais une explication n'est pas de trop. Si ce n'est pas trés compliqué je peux réussir à comprendre.

C'est moins simple que la méthode que je t'ai donnée .
Mais pour t'expliquer la nouvelle , il faut absolument que tu aies étudié les fonctions de la forme (ax+b)/(cx+d ) , appelées aussi fonctions homographiques .
Sinon , on parlerait dans le vide .

Ah bon d'accord. Je n'ai pas appris ces fonctions là, donc, oui, si c'est compliqué, je préfère pas tout me mélanger.

Juste un façon de voir les choses : si tu effectues les calculs avec des valeurs ( positives ) de x , tu verras que 40x/(20+x) augmente avec x.
Fais le calcul avec une "très grande" valeur pour x , par exemple x = 1000. Tu trouveras une valeur
prochede 40 , mais
inférieureà 40 .

Oui, on obtient 39.2156.... Ce qui est inférieur a 40.
J'ai fais de même avec 2000 par curiosité, et j'ai 39.603... Ce qui aussi inférieur, néanmoins, ca augmente..

Pense de temps en temps à faire ce genre de recherche pour "voir" comment se comporte une fonction par exemple.
Et n'oublie pas:
A Paris , à vélo , on dépasse les autos !

Oui, c'est pas faux !!