Résolution d'une équation exponentielle



  • Bonjour, je me retrouve aujourd hui avec cette équation:

    exp^(2x+5) x exp^(x+7) = 1

    Donc: Df = R

    alors: exp^(2x+5) + (x + 7) = exp(0)
    => 2x + 5 + x + 7 = 0
    => 3x = (-12)
    => x = (-4)

    S {-4}

    Est ce juste svp ?



  • Bonjour,
    Résultat juste.
    Attention aux parenthèses : exp^
    [(2x+5) + (x + 7)
    ]
    S
    ={-4}
    Enfin , les implications sont ici des équivalences .
    Sinon , il faut établir la réciproque ( une simple vérification suffit )



  • Ok très bien, par contre celle ci me met de gros doute:

    ln (6-x) = 1
    Df: ]-oo ; 6[

    ln exp(6-x) = exp^(1)
    (-x) = [exp^(1)] - 6 donc:
    x = -(exp^(1)-6)

    Qu'en est-il ?



  • exp(1) = e ( le célèbre nombre e )
    donc x = -(e-6) = 6 - e .
    Où est la difficulté ?
    C'est que tu
    doisvérifier que 6-e est bien dans l'ensemble Df
    C'est bon car e ≈2,71828182845...
    donc 6-e≈3,28... < 6



  • Oui penser à verifier c'est vrai.
    Les équations de ce post-ci sont celles qui ont été donné a mon examen l'année dernière ! (et je n'ai pas de corrigé c'est pour cela que je demande si mon calcul est exact).
    Il m'en reste 2, voici la suivante:

    ln(x-2) + ln(x+2) = ln 45
    Donc DF:
    x >2 ou bien x > (-2)
    alors Df: ]2;+oo[

    Je calcul ensuite l'équation:
    ln(x-2)(x+2) = ln45
    exp[ln(x-2)
    (x+2)] = exp(ln45)
    -> (x-2)*(x+2) = 45
    et l'on trouve: x² - 49 = 0
    j'applique delta (je ne met pas le détail ici, mais sur la copie je le mettrais bien entendu) et j'obtiens:
    x': (-14)/2 = (-7)
    x'': 14/2 = 7

    Et par conséquent, seulement 7 fait partie de l'ensemble de définition, donc S: {7}

    Je commence la dernière équation du test en espérant que celle ci est juste !!



  • Citation
    et l'on trouve: x² - 49 = 0
    j'applique deltaPourquoi faire simple quand on peut faire compliqué !
    x² -49 = 0 <=> x² = 49 <=> x = ±7
    et bien sur seul +7 convient .



  • mathtous
    Citation
    et l'on trouve: x² - 49 = 0
    j'applique deltaPourquoi faire simple quand on peut faire compliqué !
    x² -49 = 0 <=> x² = 49 <=> x = ±7
    et bien sur seul +7 convient .

    C'est vrai cela doit être l'habitude de faire les formules sans analyser ce que j'ai...
    Je n'ai pas fini la dernière, je suis dessus, elle est un peu plus compliqué que les autres car ya une fraction et du coup de panique.



  • Non :
    pasde panique , sinon il y aura des fautes .



  • Bon voici l'équation, plutot que tout mettre d'un coup, j'aimerai commencer par le Domaine de Définition car la j'ai un énorme doute sur ce que j'ai fais:

    ln(-x-2) = ln [(-x-11) / (x+3)]

    cette équation c'est comme si on la posait de cette façon (d'après moi):

    ln(-x-2) = ln (-x-11) - ln (x+3)

    Ce qui reviendrait a prendre les 3 parenthèse pour le Df
    qui me donnerait:

    x < 2 ou bien x < 11 ou encore x > -3
    Et donc les 3 se croise sur ]-3 ; 2[ que je pense donc être le Df.
    J'ai juste ???

    EDIt: j'ai des invité imprévu, je revien vers 19h ! dsl !!



  • Non : plusieurs erreurs.
    Mais pour commencer , il est donné
    ln [(-x-11) / (x+3)] et pas ln(-x-11) - ln(x+3).
    On a ln(a) - ln(b) défini si a >0 et b>0 : d'accord.
    Mais ln(a/b) est défini si a/b > 0 , i.e. si a et b sont de même signe .

    Ensuite , revois tes inégalités : je pense y déceler des erreurs .
    En résumé , le domaine se détermine selon que :
    -x-2 > 0 et (-x-11)/(x+3) > 0



  • Bien, alors en ayant essayé de refaire le tout, je trouve:

    (-x-2) > 0
    donc x < (-2)

    ou bien, sur la seconde partie, il faut que le dénominateur soit non nul, donc:
    (x+3) > 0
    x > (-3)

    alors Df: ]-3 ; -2[
    qu'en est il cette fois ci ?



  • Il y a contradiction entre "dénominateur non nul" et x+3>0
    1)Il faut : x < -2 . D'accord.
    2)Il faut aussi (-x-11)/(x+3) >0 , ce qui se résout avec un tableau de signes ( le signe d'un quotient est le même que le signe d'un produit.



  • Alors en faisant le tableau de signe, le quotient n'est positif qu'entre:
    ]-11 ; -3[ si je ne me suis pas trompé.

    Et par conséquent, puisque (-x-2) >0 donne x < (-2)
    alors Df serait: ]-11 ; -3[ ???



  • Oui , c'est cela.



  • Ok j'ai bien saisi cette fois ci, ensuite je resoud l'équation et j'obtiens:

    ln(-x-2) = ln [(-x-11) / (x+3)]

    ln(-x-2) = ln (-x-11) - ln (x+3)

    ln [exp(-x-2)] = ln [exp(-x-11)] - ln [exp(x+3)]

    je me retrouve odnc avec x + 14 = 0
    x = (-14)
    Mais sachant que (-14) ne fait pas parti de l'ensemble de définition, alors il n'y a pas de solution a l'équation ?



  • Non.

    1. ln(a/b) = ln(a) - ln(b) n'est vrai que si a et b sont positifs , ce qui n'est pas le cas ici.
    2. Il est maladroit d'avoir davantage de logaritmes qu'au début.
    3. Le plus grave : ln(-x-2) ≠ ln(exp(-x-2)) !!
      Ce serait comme si u = exp u !

    On a ln(-x-2) = ln [(-x-11) / (x+3)]

    qui est de la forme ln(a ) = ln(b) , donc a = b , tout simplement.



  • 3) Le plus grave : ln(-x-2) ≠ ln(exp(-x-2)) !!

    Je n'ai pas bien compris cela, j'ai mis ln (exp) pour supprimer justement le ln exp. et j'ai fais pareil de l'autre coté.

    Ensuite l'on nous donne un quotient et une formule a assimiler par coeur qui enleve ce quotient.
    C'est vraiment vouloir nous faire enduire en erreur quand même si il ne faut pas appliquer la formule !



  • Citation
    Ce serait comme si u = exp u !

    On ne peut pas avoir ln(u) = ln[exp(u)]
    On ne t'a quand même pas donné de formule fausse .
    De quelle formule parles-tu ?



  • Je parlais de la formule que tu as cité plus haut:
    ln(a/b) = ln(a) - ln(b)
    Je ne savais pas qu'il fallait regarder si a l'interieur de la parenthèse si les élements étaient négatif ou positif...
    Je voyais des parenthèses incluant des choses, alors j'appliquais mais il y a tjrs quelque chose qui ne va pas.

    On ne peut pas avoir ln(u) = ln[exp(u)]

    Et pour cela je suis désolé mais je ne saisi vraiment pas...
    Je croyais que exp (ln (x) = x et donc l'inverse ln (exp x) = x
    j'ai appliqué ca non ???



    1. Pour ln(a/b) = ln(a) - ln(b) : c'est vrai si les logarithmes
      existent.
      Donc il faut que a >0 , b>0 , auquel cas
      automatiquementa/b > 0.
      Par contre , a/b peut être positif
      sans quea et b le soient : par exemple si a et b sont
      tous deux négatifs: ln(a/b) existe , mais pas ln(a) ni ln(b).

    2. Il est exact que ln(exp(x)) = x pour tout x ( même négatif ),
      et que exp(ln(x)) = x , pour x > 0 cette fois . Je t'avais déjà indiqué ces égalités à propos des bijections réciproques.
      Mais: ln(exp(x)) = x , ce n'est pas la même chose que ln(exp(x)) = ln(x) qui est faux .
      C'est malheureusement ce que tu as fait dans ce passage :
      Citation
      ln(-x-2) = ln (-x-11) - ln (x+3)

    ln [exp(-x-2)] = ln [exp(-x-11)] - ln [exp(x+3)]

    où tu
    remplacesà tort ln(-x-2) par ln[exp(-x-2)]



  • Mais alors qu'est ce que je dois faire si je ne met pas ln exp(x) dans mon équation ??
    J'enleve les ln en le montrant comment ?
    J'avais utilisé la même méthode pour
    ln(x-2) + ln(x+2) = ln 45
    j'avais fait exp (ln(x-2)*(x+2) = exp (ln(45))
    ce qui supprimait les exp et les ln...

    Et pour le "1)" j'ai compris mais je ne savais vraiment pas qu'il fallait regarder si c'etait négatif ou positif...
    mais si cela avait été ln(x - 11/ x + 3 )
    (il n' y a pas le "-" devant le "x" du haut)
    Le quotient aurait été positif non ??



  • Citation
    mais si cela avait été ln(x - 11/ x + 3 ) (il n' y a pas le "-" devant le "x" du haut)
    Le quotient aurait été positif non ??
    Il y a un moins ou pas ? Sinon, ça change tout.
    Il faut de toute façon que le quotient soit positif.

    Réponds d'abord à cela, on verra la suite après.



  • oui oui il y a bien un moins.
    J'ai donné la vrai fonction, ma question etait juste pour donner un exemple car en me disant de regarder si le quotient est positif ou négatif, je fais un peu n'importe quoi je pense car je me dis que si l'on remplace "x" par "-1" alors il est négatif, mais si l'on remplace par "-5" alors il serait positif...

    On ne peut pas savoir si le quotient est positif ou négatif puisque cela dépend du chiffre que sera x !!



  • Un bon moyen : teste la fonction donnée
    au départavec quelques valeurs numériques simples pour x : tu verras bien ainsi si les calculs sont légitimes ou non.

    Citation
    J'avais utilisé la même méthode pour
    ln(x-2) + ln(x+2) = ln 45
    j'avais fait exp (ln(x-2)*(x+2) = exp (ln(45))Oui, à condition de savoir ce que l'on fait :
    ln(x-2) + ln(x+2) = ln[(x-2)(x+2)]
    Donc ln[(x-2)(x+2)] = ln(45)
    Donc exp[ln[(x-2)(x+2)]] = exp[ln(45)]
    donc (x-2)(x+2) = 45.
    Note bien que la ligne Donc exp[ln[(x-2)(x+2)]] = exp[ln(45)] est inutile :
    si ln(a) = ln(b) alors a = b : pas besoin de passer aux exponentielles.
    Attention : tu as bien écrit ici que les deux exponentielles sont égales , mais tu n'as pas commis l'erreur d'écrire que l'exponentielle était égale à ce qu'il y avait dessous.



  • mais tu n'as pas commis l'erreur d'écrire que l'exponentielle était égale à ce qu'il y avait dessous.

    hmm pas compris, dessous quoi ?

    Sinon j'ai essayé comme tu dis avec des chiffres numérique simple, et si je remplace par -1 , alors c'est négatif, mais des que l'on remplace par -5, c'est positif, comment puis je conclure que le quotient est négatif ???



  • Citation
    mais tu n'as pas commis l'erreur d'écrire que l'exponentielle était égale à ce qu'il y avait dessous.
    en dessous de l'exponentielle.
    Correct : exp(ln(a)) = exp(ln(b) donc a = b
    Incorrect : exp(ln(a) = ln(a) .

    Citation
    c'est négatif, mais des que l'on remplace par -5, c'est positifpour conclure , il faudrait savoir
    quiest positif et
    quiest négatif.
    Si x = -1 alors -x-2 = -1 et donc on ne peut pas prendre le logarithme : -1 n'est pas dans le domaine .
    Si x = -3.5 , alors -x-2 = +1.5 on peut prendre le logarithme ;
    et -x-11 = -14.5 et x + 3 = -0.5 tous deux négatifs , donc leur quotient est positif . -3.5 est bien dans le domaine.



  • Bien, alors pour en revenir ou nous en étions:
    ln(-x-2) = ln [(-x-11) / (x+3)]
    avec Df: ]-11 ; -3 [

    La fonction Ln étant une bijection:

    (-x-2) = (-x-11) / (x+3)
    alors en mettant tout sous le même dénominateur et en calculant j"obtiens:
    (-x²) - 4x + 5 = 0

    Je fais delta et j'obiens:
    x': 1
    x'': -5
    donc S: {-5} ?



  • Oui , c'est cela.
    Cette fois ça me semble correct.
    Mais x² + 4x - 5 se factorise sans passer par le fameux delta :
    x² + 4x - 5 = (x-1)(x+5) "de tête" .



  • Ah enfin !!
    Alors juste pour résumer:
    Avant d'appliquer les formules apprise pour "ln"
    je dois regarder si les parenthèse sont TOUTES positives, sinon la formule n'est pas applicable c'est bien ca ?



  • Pour le logarithme , oui : ln(a) exige a > 0 , que a soit simple comme -x-2 , ou "compliqué" comme (-x-11)/(x+3) , ou encore plus compliqué ...
    Pour les exponentielles c'est plus sympa : exp(x) est calculable pour toutes les valeurs de x.
    Tu as les mêmes précautions à prendre pour les racines carrées : √a existe ( dans R ) si a est positif ou nul.


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