3. Montrer des égalités de vecteurs

Montrer des égalités de vecteurs

  • J

    Bonjour, pouvez-vous m'aider à la partie B ?
    Voici l'énoncé:

    ABC triangle rectangle isocele en A.
    Le but de l'exo est de construire , suivant deux méthodes différentes , le point G défini par : GA vecteur + 2GB vecteur + GC vecteur = 0 vecteur

    A méthode analytique:
    On considere le repere ( A , AB , AC vecteur).
    coordonnée de A=(0.0)
    """""""""""de B=(1.0)
    """"""""""""de C = (1.1)

    1. On note x et y les coordonnées de G.
      Calculer en fonction de x et y les coordonnées des vecteurs GA , 2GB, GC.

    2. Déduisez en les coordonnées du vecteur GA + 2GB+GC.
      c) déterminer alors les coordonnées du point G.

    B méthode vectorielle.

    1. On note I tel que vecteur AI = 2/3 AB vecteur.
      a) montrer que IB vecteur = 1/3 AB vecteur , déduisez que GA + 2GB + GC= 3GI.
      b) montrer qque le point G appartient a la droite (ic).

    2. on note j milieu de segment AC.
      a) montrer que GA vecteur + GC vecteur = 2GJ vecteur.
      b) en déduire que le point g appartient a la droite (jb).

    merci pour toute votre aide

    C 1 réponse
  • C

    Salut,

    Ah la géométrie, ma bête noire. Quand on n’a pas la fibre scientifique, c’est là que se fait la différence. On ne peut plus faire illusion, même en bossant le truc à fond. Mais puisque personne ne t'aide, je tente :

    B1a)

    Le tout en vecteur

    On sait que :

    AI = 2/3 AB donc

    AB + BI = 2/3 AB (Relation de Chasles)
    BI = 2/3 AB – AB
    BI = (2/3 – 1 ) AB
    BI = -1/3 AB

    IB = 1/3 AB

    Tjrs en vect :

    Là il doit y avoir une erreur dans ton énoncé le
    GCne doit pas être là je pense . . . GA + 2GB +
    GC= 3GI

    GA + 2 GB
    = GI + IA + 2 (GI + IB) (Relation de Chasles)
    = GI + IA + 2 GI + 2 IB
    = 3 GI + IA + 2 IB
    = 3 GI – AI + 2 IB
    = 3 GI – 2/3 AB + 2 (1/3 AB) en remplaçant AI et IB par les expressions du 1)
    = 3 GI + (2/3 - 1/3) AB
    = 3 GI + 0

    = 3 GI

    B1b)
    Tjrs en vect :

    On sait que :

    GA + 2 GB + GC = 0 donc

    GC = - GA – 2 GB
    GC = - (GA + 2 GB)

    GC = - 3 GI car on a montré que GA + 2 GB = 3 GI

    Les vecteurs GC et GI sont colinéaires, Les trois points G, C et I sont donc alignés.

    On en déduit que G appartient à (IC)

    Essaie dans le même style le 2) en t'inspirant de cela.

    En 1ère, tu apprendras que ce point G est appelé le barycentre.

    J 1 réponse
  • J

    merci beaucoup 😄 😆

    J 1 réponse
  • J

    Pour la partie B 2eme question je bloque. Je sais qu'il faut utiliser la relation de chasles mais c 'est dur!

    M 1 réponse
  • M

    bon voici la solution
    on doit montrer que GA vecteur + GC vecteur = 2GJ vecteur

    et on a j le milieu de [AC] alors AC=2AJ

    ON sait que AG=AC+CG (Relation de Chasles)
    alors AG-CG=AC
    et on a AC=2AJ
    ALORS AG-CG=2AJ
    alors AG+GC=2AJ
    on sait que AG=-GA
    alors
    -GA+GC=2AJ
    ON SAIT que -GA=GA-2GA
    ALORS
    GA-2GA+GC=2AJ
    d'où
    GA+GC=2AJ+2GA
    GA+GC=2(GA+AJ) (Relation de Chasles)
    d'où
    GA+GC=2GJ
    P.S.tout est en vecteur

    pour le 2
    On sait que
    GA + 2 GB + GC = 0
    et on a GA + GC=2GJ
    alors
    2Gj+2GB=0
    2GJ=2BG
    GJ=BG
    alors G appartient à la droite (BJ)

    alors mnt on a demontré que G appartient aux droites (BJ) et (IC)
    alors il suffit de dessiner ces deux droites.....G est leur point de rencontre

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