Choisir un repère pour démontrer

Bonjour à tous , il y a un exercice sur lequel je bloque pourrizez-vous m'aider voici le sujet

ABD est un triangle rectangle isocèle en A, AB=AD=a. F est un point de [AD], E un point de [AB] distinct de A. Les droites (DE) et (BF) se coupent en un point C. M,N,O sont les milieux respectifs de [AC],[BD], et [EF].
Le but de cet exercice est de démontrer que M,N,O, sont alignés. Pour cela, on peut utiliser l'outil analytique. On chosit le repère (A;vecteur i; vecteur j) tel que vecteur AB = a multiplier par vecteur i. Et vecteur AD = a multiplier par vecteur j.

1)Quelles sont les coordonnées de A,B et D dans ce repère?

2)on note m l'abscisse de E et n l'ordonnée de F. Montrer que mn - a² différent de 0.

Trouver une équation cartésienne de chacune des droites (BF) et de (DE), puis déterminer les coordonnées de C.
Calculer alors les coordonnées des points M,N,O, et prouver qu'ils sont alignés.

alors pour le 1) j'ai trouvé A ( 0,0) c'est l'origine du repère , B ( a, 0) et D ( 0,a )

pour le 2) E(m,0) et F ( 0,n) et a > 0 et -a² < 0 et 0 < m ≤ a et 0< n < a donc mn < a² et donc mn-a²≠0

pour le 3 ) BF ( -a , n ) et BM ( x-a , y ) d'ou l'équation de droite de (BF) : 0=-ax+a² +ny
et DE ( m, -a ) et DM( x , y-a ) d'ou l'équation de droite de (DE) : 0=mx-ay+a²

Est-ce que mes équations de droites sont correctes ?

Après je bloque je peux éventuellement faire un système pour trouver les inconnues mais je

pense que mn-a²≠0 doit nous servir sinon pourquoi nous l'avoir fait calculer cependant je ne

trouve pas merci de votre aide !!

Intervention de Zorro = ajout d'espaces autour des signes inférieurs pour régler un souci d'affichage

Bonjour,
Pour le 2 , le fait que -a² < 0 ne suffit pas : mn pourrait être égal à a² : pourquoi n'est-ce pas vrai ?
Pense aux droites (DE) et (BF).

Quelles sont les coordonnées des vecteurs DE et BF ?
Comment démontrer qu'ils sont ou non colinéaires ?

Tes équations de droites sont fausses.

Pour le 2) vu que m ≤ a et n < a et F ∈ [AD] et E ∈ [AB] d'ou mn<a²

le vecteur DE ( m , - a ) et le vecteur BF ( -a , n )

ok j'ai compris vu qu'on a prouver que mn-a²≠0
les vecteurs DE et BF ne sont pas colinéaire ca en faisant la formule xy'-x'y=0
on obtient mn-a²=o or ceci est faux donc les vecteur ne sont pas colinéaire .
Est-ce bien cela ?

mais après pour l'équation de droite je bloque.

Non , ton raisonnement est faux:
c'est parce que les deux vecteurs ne sont pas colinéaires que mn-a²≠0 , et non l'inverse.

Pour l'équation de la droite (BF) , on a bien les coordonnées du vecteur BF qui sont (-a,n) , mais ensuite , tu as mal utilisé ces coordonnées.
Un conseil : quand tu penses avoir trouvé l'équation de (BF) , regarde si les coordonnées de B et de F vérifient bien l'équation trouvée.

Merci pour les conseils j'ai bien crompris voici donc les équations que je trouve :

(BF) a pour équation : y = n(a-x)/a ( j'ai vérifié avec les coordonnées de F et B )

et pour (DE) a pour équation : y = a(m-x)/m ( j'ai vérifié aussi D et E )

et pour trouver les coordonnées de C =je m'embrouille je dois mettre sur le meme dénominateur " ma " j'obtient (a²m - a²x - amn + mnx) /ma aptès je bloque je pense que un fois cela débloquer le reste va tout seul on trouve les coordonnées de C et meme raissonnement pour la dernière question .
pourriez vous me donnez un conseil svp !

Le dénominateur est non nul , donc il suffit que le numérateur soit nul : a²m - a²x - amn + mnx = 0
Isole les termes en x d'un côté et le reste de l'autre : tu obtiendras x
Tu pourras alors remplacer x par la valeur trouvée dans l'une des équations pour obtenir y.

tres bien merci beaucoup j'ai finis l'exercice , en vous remerçiant !

Bonne journée

Bon courage.