Etudier des suites définies par récurrence à l'aide des fonctions

Bonjour,
pourriez vous vérifier mon exercice et m'aider pour les questions que je n'arrive pas svp.

Voici le sujet :

$u_n$ ) est la suite définie par u $< e m > 0$ =1 et, pour tout naturel n, $u$ {n+1} $1/2u_n$ +3.

Calculez $u_1$ , $u_2$ , $u_3$ , $u_4$ , $u_5$ , $u_6$ .
Quelle est la fonction f telle que, pour tout naturel n, $u$ _{n+1} $f(u_n$ ) ?
Réprésentez graphiquement la suite $u_n$ ) sur l'axe des abscisses. Cette représentation graphique vous permet-elle de prévoir le sens de variation de la suite ? sa limite éventuelle ?
a) Prouvez que la suite $v_n$ ) définie pour tout naturel n par $v$ _n $u_n$ -2 est géométrique.

b) Exprimez $v_n$ en fonction de n. Déduisez-en la limite de $v_n$ ), puis la limite de $u_n$ ).

Voici mes réponses :

$u_1$ =5/2
$u_2$ =5/4
$u_3$ =29/8
$u_4$ =19/16
$u_5$ =77/32
$u_6$ =115/64

$2) u$ _{n+1} $f(u_n$ )
$f(u_n$ ) = -1/2 $u_n$ + 3

J'ai réussi à représenter la droite y=-1/2x+3. Mais ma suite n'est pas monotone, elle varie entre croissante et décroissante. Je ne vois pas comment faire. Pouvez vous m'aidez ?? Pour sa limite je ne sais pas non plus.
pour le a et le b je ne sais pas non plus.

Je suis vraiment bloquée pour toute la fin de l'exercice, pourriez vous m'aider svp, j'ai assez de mal sur ce chapitre :frowning2:

Merci

Bonjour,
Ta suite est bien définie par $U_{n+1}$ = $1/2)*U_n$ + 3 ?
Peux-tu détailler le calcul de $U_2$ ?

oui la suite est bien définie par $u_{n+1}$ = $1/2)*u_n$ +3.

$u_2$ = $1/2)*u_1$ +3
$u_2$ =(-1/2)*5/2+3
$u_2$ =-5/4. (j'ai oublié le - plus haut)

Pourriez vous vérifier ma réponse à la question 2 (je ne suis vraiment pas sûre du tout) et m'aider pour les questions 3 et 4 svp ?

Ma réponse s'est perdue ?
Citation
u2= (-1/2)*u1+3
u2=(-1/2)*5/2+3
u2=-5/4. (j'ai oublié le - plus haut)
Tu as aussi oublié le +3 ?
Reprends ce calcul et les suivants.

ah oui exact désolée.
$u_2$ =7/4
$u_3$ =53/8
$u_4$ =67/16
$u_5$ =173/32
$u_6$ =307/64
c'est juste maintenant ?

Pour $U_2$ ; oui , mais pour les autres , mes résultats sont différents .Redonne seulement $U_3$ , en détaillant.

mince pour $u_3$ j'ai réutilisé le résultat faux de $u_2$ et ainsi pour tous. C'ets pour ça qu c'est faux.
Je recommence.

OK

$u_3$ =17/8
$u_4$ =31/16
$u_5$ =65/32
$u_6$ =127/64

Je crois que maintenant c'est bon

Oui , c'est correct.
Tu peux continuer. Mais pour la question 2 , j'avoue ne pas comprendre le but .
$f(U_n$ ) = $1/2)*U_n$ + 3, c'est tout.
Rien à voir avec une fonction affine.

C'est bon du coup ma réponse ou pas ?
Je ne voyais pas vraiment quoi mettre d'autre en fait

Moi non plus.
Mais pour la question 3 , on ne te demande pas de représenter une droite , mais de placer les points d'abscisses $U_0$ , $U_1$ , etc ... sur un axe.
Utilise les valeurs décimales de $U_0$ , $U_1$ , ... : ce sera plus simple.

Mais pourtant il est également marqué qu'il faut faire comme dans l'exo 1 (et dans l'exo 1 on avait fait la droite d'équation y=x et la droite de la fonction qu'on étudiait). Donc je pense qu'il faille faire le graphique.
Mais de toute façon même en faisant le graphique, on place aussi $u_0$ , $u_1$ .... sur l'axe des abscisses si on veut.
Donc je pense que ça marche quand même, non ?

Toujours dans la 3, pour le sens de variation, les fonctions n'est pas monotone donc comment faire ?

Je vois ce que tu veux dire, mais dans l'énoncé que tu me donnes, on demande seulement de placer $U_0$ ,U
1,... sur l'axe des abscisses.
On peut y parvenir en utilisant les deux droites dont tu parles, mais ce n'est pas utile ( et pas facile à expliquer ). Que dit exactement ton énoncé ?

" Représentez graphiquement la suite $u_n$ ) sur l'axe des abscisses. (Utilisez la méthode vue dans l'exercice 1). Cette représentation graphique vous permet-elle de prévoir le sens de variation de la suite ? sa limite éventuelle ? "

On peut tracer la droite passant par le point d'abscisse U0 et parallèle à l'axe des ordonnées : elle coupe la droite d'équation y = -1/2 x + 3 en M ; puis on trace la droite passant par M et parallèle à l'axe des abscisses : elle coupe la droite d'équation y = x en P ; puis on trace la droite passant par P et parallèle à l'axe des ordonnées : elle coupe l'axe des abscisses au point d'abscisses Un+1.
Puis on recommence avec U1 , et ainsi de suite .
Ainsi , avec Un , on obtient Un+1 par construction.
Comme tu l'as dit , la suite n'est pas monotone.
Toutefois , on observe que les Un se rapprochent de 2 .
Mais ceci n'est pas une preuve que leur limite est 2.
D'où la question 4.

En fait la limite, c'est "le nombre où les points se rapprochent le plus" ??

Comment prouver qu'une suite est géométrique. Dans mon cours on me dit que la forme de récurrence d'une suite géométrique est : $u$ _{n+1} $u_n$ * q et que la forme explicite est $U$ _n $= u$ _0 $q^n$

Oui , mais ici le "+3" vient tout gâcher : Un n'est pas une suite géométrique.
C'est la raison pour laquelle on te demande d'étudier une suite "auxiliaire" : Vn
Exprime Vn+1 en fonction de Vn , et tu verras que Vn est une suite géométrique.

désolée mais je ne vois pas

Tu as $V_n$ = $U_n$ - 2
Donc $V_{n+1}$ = $U_{n+1}$ - 2
Dans Un+1 = $1/2)U_n$ + 3 , remplace $U_n$ par $V_n$ + 2 et $U_{n+1}$ par $V_{n+1}$ + 2

$v_{n+1}$ + 2 = (-1/2)* $v_n$ + 2
comme ça ??? je comprends toujours pas :frowning2:

Ton calcul est faux !
U_n$ = $V_n$ + 2
U_{n+1}$ = $V_{n+1}$ + 2
Et
U_{n+1}$= (-1/2)
U_n$+ 3
Donc :
V_{n+1}$ + 2= (-1/2)[
V_n$ + 2] + 3
Achève le calcul.

je fais quoi ? je développe ?

Ben oui , il n'y a qu'un seul endroit où développer :
$V_{n+1}$ + 2 = $1/2)[V_n$ + 2 ] + 3
le produit par -1/2

$V_{n+1}$ + 2 = ??

$v_{n+1}$ + $2=(-1/2)v_n$ -1 +3
$v_{n+1}$ + 2 = $1/2)v_n$ + 2

mais maintenant c'est pas le +3 qui vient tout gâcher mais le +2, non ??

Oui, mais il se trouve
des deux côtés: tu ne peux pas le retirer ? ( en ajoutant -2 des deux côtés )

ah oui, donc $v$ _{n+1} $1/2)v_n$

et ainsi on a la forme : $v$ _{n+1} $q*v_n$ avec q qui est la raison et qui vaut (-1/2). Donc c'est bien une suite géométrique

Alors , tu la tiens ta suite géométrique ( forme de récurrence ) : il te reste à écrire la forme explicite ( attention , c'est ici V0 , pas U0 ) et tu obtiendras la limite de Vn , puis de Un .

la forme explicite c'est : $v$ _n $v_0$ * $q^n$ .

Pour $v_0$ , je prends quoi ? Puisque j'ai $u_0$ mais pas $v_0$ dans mes données de l'exo.

je suis bloquée à ça : $v$ _n $v_0$ * $1/2)^n$

Tu connais U0 et tu sais que V0 = U0 - 2
Donc V0 = -1. Mais c'est sans importance pour trouver la limite de Vn.
Quelle est la limite de $1/2)^n$ quand n → ∞ ?

On a seulement vu quand ça tend vers 0 (pour les dérivées). Donc je dirais que lorsque n tend vers l'infini, la limite de (-1/2) est l'infini.
non ?

ou -∞ ? non ?

Non : Fais des essais :
Calcule $1/2)^2$ , $1/2)^3$ , $1/2)^4$
Et tu dois savoir que si -1< a < +1 , alors $a^n$ tend vers ?? quand n tend vers ∞.

(-1/2)²=1/4
$1/2)^3$ = -1/8
$1/2)^4$ =1/16
--> Donc ça tend vers 0.

Pour -1 < a < 1, lorsque n tend vers ∞ alors je ne sais pas vers quoi tend $a^n$ . Mais vu la réponse que j'ai trouvé juste avant avec les exposants 2, 3 et 4, je dirais que $a^n$ tend vers 0. Est ce ça ?

Oui , tu as étudié les suites géométriques , donc tu devrais avoir vu ce résultat ( peut-être énoncé autrement ).
Maintenant que tu connais la limite de Vn , puisque Un = Vn + 2 , quelle est la limite de Un ?

comme la limite de $v_n$ est 0 et que $u$ _n $v_n$ +2 alors la limite de $u_n$ est 0+2 donc 2.
C'est bien ça ?

C'est cela , et c'est ce que laissait supposer la question 3 .
La méthode utilisée est classique : quand une suite Un n'est pas une suite géométrique mais "presque" , on lui associe une "vraie" suite géométrique Vn.
Connaissant Vn , on en déduit les qualités de Un.