Montrer des inégalités sur les suites

Bonjour voilà j'ai un devoir maison à rendre pour la rentrée mais je n'y arrive pas.

On considère les suites (Un) et (Vn) définies sur N par U0=3 et les relations :
Un+1=(Un+Vn)/2 et Vn=7/Un

1.Justifier par récurrence que pour tout n de N Un>0 et Vn>0
Je l'ai fais mais c'est trop long à écrire.

2.Démontrer que quel que soit n de N (Un+Vn)^2-28=(Un-Vn)^2
(Un+Vn)^2-28=....=Un^2+49/Un^2-14
et (Un-Vn)^2=....=Un^2+49/Un^2-14
J'ai calculé chacune des parties de l'expression mais je ne pense pas que l'on démontre comme ça.

3.En déduire que $U$ {n+1} $- V$ {n+1} $= (1 / 4 U$ _{n+1} $) (U$ _n $V_n$ )^2
Ici j'ai développé et j'ai remplacé parles informations données dans l'énoncé.

4.Conclure que quel que soit n de N, $(U$ _n $V_n$ ≥0
C'est là que je suis bloquée, merci d'avance pour toute l'aide que vous pouvez me fournir! Bonne journée!

Bonjour,
Pour la question 2 , on peur ( peut-être ) calculer plus rapidement la différence (Un+Vn)^2-28-(Un-Vn)^2

Pour la question 4 , ça me paraît simple :
Un - Vn = 1/(4Un)(Un-1 - Vn-1)² : Un est positif , et le carré l'est évidemment aussi.

Bonjour
pour la 2) dire que (Un+Vn)²-28=(Un-Vn)² c'est exactement pareil que de dire Vn= 7/Un (cela se montre assez facilement par succession d'égalité)
(mias si avec tes calculs tu obtients que les deux bouts sont égaux, c'est juste aussi...)

pour la 4, il suffit de faire une récurrence, t'initialise avec U0-V0 ≥ 0
puis tu as comme hypothese de recurrence pour un N fixé $U$ N $V_N$ ≥ 0 tu sais d'après la question 3 que $U$ {N+1} $V_{N+1}$ ≥ 0 donc Un - Vn est positif pour tout n

ah oui, j'avais pas vu ton message mathous mais ce que tu fais me semble plus simple^^

A Tom-Tom :
l'égalité Un - Vn = 1/(4Un)(Un-1 - Vn-1)² est vraie pour tout rang , donc quelle utilité une démonstration par récurrence ?
Ce qui est à droite est évidemment positif.

oui tu as raison ... des fois on ne voit pas les trivialités ...

Citation
pour la 2) dire que (Un+Vn)²-28=(Un-Vn)² c'est exactement pareil que de dire Vn= 7/Un (cela se montre assez facilement par succession d'égalité)

Je ne vois pas du tout je pars de Vn=7/Un? Et après?

Merci pour tout!

De plus , j'ai cru comprendre que ta récurrence se ferait "à l'envers" : du rang n+1 vers le rang n , tout en partant du rang 0 , peu clair ...

Ensuite ils me demandent de m'aider de Un-Vn≥0 et de prouver que la suite (Un) est décroissante et que la suite (Vn) est croissante. Comment je dois faire?

Citation
Pour la question 2 , on peut ( peut-être ) calculer plus rapidement la différence (Un+Vn)^2-28-(Un-Vn)^2
Cette méthode me semble plus simple : en tout cas , elle aboutit.

ok ok

pour la récurrence question 1 j'arrive pas à prouver Vn>0

Je croyais que tu l'avais fait ?
U0 est donné , calcule V0 : ils sont positifs.
Tu peux ici raisonner par récurrence.
Si Un et Vn sont positifs , alors que peux-tu dire de Un+1 , puis de Vn+1 (dans cet ordre ) ?

J'ai fait la récurrence de Un>0 mais j'arrive pas à celle de Vn>0

Si Un
etVn sont positifs , alors :
Un+1 = (Un + Vn) /2 est donc positif ( demi-somme de deux nombres positifs ).
Et Vn+1 = 7/Un+1 : on vient de voir que Un+1 est positif , donc Vn+1 aussi.

c'est tout je croyais qu'il fallait le faire par récurrence

c-la-life-66
Citation
pour la 2) dire que (Un+Vn)²-28=(Un-Vn)² c'est exactement pareil que de dire Vn= 7/Un (cela se montre assez facilement par succession d'égalité)

Je ne vois pas du tout je pars de Vn=7/Un? Et après?

Merci pour tout!

(Un+Vn)²-28=(Un-Vn)²
⇔ (Un+Vn)²-(Un-Vn)² = 28
⇔ (Un+vn+Un-Vn)(Un+Vn-Un+Vn)=28
⇔ 2Un.2Vn=28
⇔ Un.Vn=7
⇔ Vn = 7/Un

Comme j'ai procédé par équivalence tu pourrais partir de Vn = 7/Un et remonter jusqu'à (Un+Vn)²-28=(Un-Vn)² ...

C'estpar récurrence , simplement je ne l'ai pas mis en forme.
On veut montrrer par récurrence que Un >0 et Vn >0 :
a) C'est vrai pour U0 et V0
b) on suppose que c'est vrai jusqu'au rang n : Un >0 et Vn >0
c) on démontre que c'est vrai aussi au rang n+1 : c'est ce que j'ai fait :
Citation
Si Un et Vn sont positifs , alors :
Un+1 = (Un + Vn) /2 est donc positif ( demi-somme de deux nombres positifs ).
Et Vn+1 = 7/Un+1 : on vient de voir que Un+1 est positif , donc Vn+1 aussi.

non c'est bon j'ai compris merci

Citation
tu as tout multiplié par 2 ? parce ke 7*2= 14 alors je comprend pas
oui je sais j'ai du mal...Tout est mélangé : cette question concerne Tom-Tom : je te laisse avec lui.

Non mais c'est bon en faite j'ai terminée les questions que j'avais posté. Merci!
Ensuite ils me demandent de m'aider de Un-Vn≥0 et de prouver que la suite (Un) est décroissante et que la suite (Vn) est croissante. Comment je dois faire? Il faut que je prouve que: Un+1
Vn?
Bon c'est pas grave je vais essayer toute seule le message ne veut pas bien se poster. Merci pour tout!

Pour montrer que Un est décroissante , il faut calculer Un+1 - Un : on trouve un résultat (( vn - Un)/2) négatif ( car on sait que un ≥ vn )
Et puisque Un décroit et que Vn = 7/Un , Vn est donc croissante ( tous les termes sont positifs )

ok après ils me demandent de démontrer que Un≥21/8
Je l'ai fais par récurrence et ça marche je pense mais après ils me demandent de démontrer Un+1-Vn+1≤1/10(Un-Vn)^2 en utilisant le résultat précédent. Je ne vois pas le rapport.

On sait que Un+1-Vn+1≤1/(4Un+1)(Un-Vn)^2
Si Un+1 ≥21/8 , alors
Un+1-Vn+1≤(2/21)(Un-Vn)^2 ,et 2/21 < 1/10

oui ok après par récurrence il faut démontrer Un-Vn≤1/(10^(2^(n)-1))

j'utilise Un+1-Vn+1≤1/(10^(2^(n+1)-1)?

Pose Wn = Un - Vn , et k = 1/10 : juste pour avoir des écritures plus simples.
On a : Wn+1 ≤ k.(Wn)²
Donc W1 ≤ k.(W0)²
W2 ≤ k.(W1)² ≤k(k² $W0)^4$ ) = $k$ ^3 $W0)^4$ )
Démontre alors par récurrence : Wn ≤ $k$ ^{2n-1} $W0^{2n}$
Tu reviendra à la fin aux 1/10 et à la valeur de W0

Je dois me déconnecter.
A+ et bon courage.

ah ok merci mais je n'ai pas compris à partir de W2 au revoir! Merci pour tout

Salut.

J'explique pour $W_2$ (je n'ai pas lu le reste du sujet).

On part de l'inégalité $W_{n+1}$ ≤ k. $W$ _n $^2$

En posant n=0, alors : $W_{0+1}$ ≤ k. $W$ _0 $^2$ . Donc : $strong>W_1$ ≤ k. $W$ _0 $^2$ . (1)

Maintenant, si n=1 : $W_{1+1}$ ≤ k. $W$ _1 $^2$ . Donc : $strong>W_2$ ≤ k. $W$ _1 $^2$ . (2)

Si on met l'inégalité (1) au carré et que l'on multiplie par k qui doit être positif j'imagine (pour garder le sens de l'inégalité), alors on en arrive à : k. $W$ _1 $^2$ ≤ k.(k. $W$ _0$$^2$)^2 $, o u e n c o r e < s t r o n g > k .$ W $_1$ ^2$ ≤ $k^3$ . $W$ _0 $^4$ . (3)

Ce qui nous permet de lier les inégalités (2) et (3) comme mathtous l'a fait.

@+

Ah oui c super merci
Je remplace pour faire l'hérédité?

Rebonjour,
Tu remarques que l'inégalité est vraie au rang 1 , au rang 2 .
Tu supposes qu'elle est vraie au rang n :
Wn ≤ $k$ ^{2n-1} $W0^{2n}$
Et tu la démontres au rang n+1 en utilisant Wn+1 ≤ k. $Wn^2$

Bonjour!
Je ne comprend pas pourquoi Wn ≤ $k$ ^{2n-1} $W0^{2n}$ au rang n+1 donne Wn+1 ≤ k.Wn2

Non , cela ne "donne" pas ..
Wn+1 ≤ k.Wn² est déjà établie : ce n'est rien d'autre que
Un+1 - Vn+1 ≤ (1/10)(Un - Vn)²
J'avais posé Wn = Un - Vn et k = 1/10 pour avoir moins à écrire.
Partant de l'inégalité au rang n , tu peux l'établir au rang n+1 en utilisant Wn+1 ≤ k.Wn²

ah ok oui merci
Euh franchement je vois pas du tout comment je peux arriver a ça

Tu sais faire la suite ?

Ben non lol je sais pas comment commencer alors je bloque

Calcule les coordonnées de AM et de n .

Euh c'est quoi AM? Et comment calculer les coordonnées de ça?

Excuse-moi, j'ai répondu à un autre sujet et je l'ai placé ici !!!
Tu as : Wn ≤ $k$ ^{2n-1} $W0^{2n}$
et Wn+1 ≤ k.Wn²
Donc Wn+1 ≤ k[ $k$ ^{2n-1} $W0^{2n}$ ]²
Wn+1 ≤ $k$ ^{2n} $W0^{2n+1}$
La relation est établie au rang n+1.

c'est tout ? ça prouve tout?

Pas tout à fait à cause du W0.
Mais W0 = U0 - V0 = 2/3 < 1
Donc $W0^{2n}$ < 1
Donc il reste Wn ≤ $k^{2n-1}$
Et ici , Wn = Un - Vn , et k = 1/10
Donc
Un - Vn ≤ $1/(10^{2n-1}$ )

ok après il me demande de calculer la limite de un-vn donc je calcule la limite de 1/(102n-1) je trouve 0 donc comme Un - Vn ≤ 1/(102n-1) la limite de un-vn=0 c'est sa?
Après il faut que je prouve que les suites sont adjacentes et que je trouve la limite commune.