Limites 1ere S et étude complète de fonction

Bonjour je bloque sur un devoir a la maison concernant les limites , voici l'énoncé :
Soit f la fonction définie sur R par : f(x) = (x^3 - 2 ) / (x² + 1)
1 ) Démontrer que f est dérivable sur R. Calculer f'(x)
2 ) Vérifier que le numérateur de f'(x) peut s'écrire : x(x+1)(x²-x+4)
déterminer lim f(x) quand x tend vers + l'infini et - l'infini.
Etudier les variations de f sur R.
3 ) Montrer que delta d'équation y=x est asymptote à la courbe C de f. Etudier leurs positions relatives.
4 ) résoudre l'équation f'(x) = 1, en déduire les équations réduites des tangentes à C parallèles à delta. etudier la position de C par rapport à ces tangentes.
5 ) Déterminer suivant la valeur du réel k, le nombre des solutions de l'équation f(x) = x + k
6 ) Etablir un lien entre les questions 4 et 5

Je suis bloqué a la question 4 car je ne trouve qu'une seule tangente . .puis à la question 5.
Merci d'avance

Salut,
tu peux marquer vite fait ce que tu as trouvé au question precedentes?

Salut,

f'(x) = $x^4$ + 3 x² + 4x) / ( x² + 1 )²

On utilise cette forme pour f’, plus pratique pour résoudre :

f'(x) = 1

$x^4$ + 3 x² + 4x = ( x² + 1 )²
$x^4$ + 3 x² + 4x = x^4 + 2x² +1
x² + 4x -1 = 0
discriminant = 20 > 0 donc 2 racines :

x1 = -2 – √5 et
x2 = -2 + √5

On a donc bien en ces deux points A( x1 ; f(x1) ) et B( x2 ; f(x2) ) une tangente de coefficient directeur 1, donc parallèle à la droite delta d’éq y = x

Je comprends ton soucis :
Au point B, on devine bien sur Cf la tangente.
En A, c’est moins évident : En fait la courbe Cf, en allant de 0 vers -inf passe au dessus de l’asymptote y=x puis revient tendre vers cette droite "de l'autre coté" (voir les positions relatives entre Cf et delta)
Je ne suis pas sûr d’avoir été clair.

Je n’ai pas fait le reste de l’exo, mais pour les équations, je suppose qu’il faut calculer f(x1) et f(x2) pour établir les équations des tangentes :

En A : Y = f’(x1) (x – x1) + f(x1) = (x – x1) + f(x1) = x + ( f(x1) – x1 )

Et de même en B : Y = x + ( f(x2) – x2 )

Je ne sais pas / plus ce qu’est une équation
réduite. . .

Bon courage.

ok ok merci beaucoup !! et avez vous ompris la questions 5 ??

J’ai bien peur que oui . . .
C’est jamais cool de répondre à ce genre d’exo car c’est souvent un peu lourd par forum interposé, mais on y va . . .

f(x) = x + k
(1)
$x^3$ - 2 ) / ( x² + 1 ) = x + k
k x² + x + (k+2) = 0

Jusque là tu y étais je suppose ?

Tu reconnais un bon vieux polynôme du 2nd d°, mais avec un paramètre k réel dont va dépendre le signe de Δ et donc le nombre de solutions de l’équation
(1)

Δ = -4k² - 8k + 1
On se réjouit de constater qu’il s’agit d’un autre polynôme de 2nd d° dont il nous faut étudier le signe.

Pour étudier le signe de Δ = -4k² - 8k + 1, on recherche ses racines.

On calcule alors Δ
’, le discriminant de Δ :

Δ
’= 80 = (
4√5)² > 0 donc 2 racines distinctes k’ et k’’ telles que :

k' = (-2 - √5) / 2 et k’’ = (-2 + √5) / 2

-4k² - 8k + 1 - -> Le coefficient de k² est négatif. Le polynôme (et donc Δ) sera donc négatif à l’extérieur des racines k’ k’’ et sera positif à l’intérieur des racines.

On en déduit que :

Si k ∈ ] – inf ; k’ [ U ] k’’ ; + inf [ alors Δ < 0 et (1) n’admet aucune solution.
Si k ∈ ] k’ ; k’’ [ alors Δ > 0 et (1) admet deux solutions distinctes.
Si k ∈ { k’ ; k’’ } alors Δ = 0 et (1) admet une solution unique.

Pour avoir les idées claires entre le signe de Δ
’et de Δ, il faut prendre un peu de recul. Ne pas perdre de vue que x est notre inconnue et k un paramètre sur lequel on discute.

Je préfèrerais que tu répondes à cette question pour être sûr que tu aies compris le fondement de l’exo.

Réfléchis à ce que signifie le fait que f(x) = x + k ait une solution

Comment par ex trouver graphiquement les solutions des équations :
f(x) = x + 1
f(x) = x - 1
f(x) = x + [ (-2 + √5) / 2 ]
f(x) = x + [ (-2 - √5) / 2 ]

Donne-nous tes conclusions.

Oua merci beaucoup, effectivement j'étais arriver à trouver delta , mais étant donné que c'était un polynome , je m'étais arreté la. J'ai compris votre raisonnement, graphiquement si f(x) = x+1, alors f(x) et y=x+1 ont un point d'intersection, ainsi de suite pour les autre fonctions, non ?
Cela signifie que les solution de l'équation suivant les valeurs de k , représentent les abscisses des points qui ont pour dérivée 1, non?
J'essaye d'établir un lien mais c'est assez vague je crois. .
Merci

Eu je comprend pas , pourquoi 80 = (2racine de 5 )² .. donc je ne comprend pas les deux racines

Effectivement c'est bizarre j'ai pas suivi le sujet mais
$80=(4sqrt5)^2$
Si sa peut t'aider...

Salut,

Helenn
Eu je comprend pas , pourquoi 80 = (2racine de 5 )² .. donc je ne comprend pas les deux racines
Normal . . . c’est une coquille de ma part (j’ai corrigé mon post d’hier) :

Δ
’= 80 = 16 x 5 = (
4√5)²

J’ai pris l’habitude d’exprimer les discriminants sous forme de carrés, c’est pratique . . . même lorsqu’ils sont négatifs (tu comprendras l’année prochaine . . . "On ne nous dit pas tout" pour reprendre la phrase de la nana humoriste dont j’ignore le nom)

J’ai retrouvé mon papier, c’est une erreur de recopie, les racines restent correctes :

k' = (8 - 4√5) / (-8) = (-2 - √5) / 2

idem pour k’’

Helenn
. . . J'ai compris votre raisonnement, graphiquement si f(x) = x+1, alors f(x) et y=x+1 ont un point d'intersection, ainsi de suite pour les autre fonctions, non ?
Cela signifie que les solution de l'équation suivant les valeurs de k , représentent les abscisses des points
J'essaye d'établir un lien mais c'est assez vague je crois. . .
Oui, c’est bien . . . il faudrait juste un peu plus de rigueur dans l’expression. Je ne suis pas sûr qu’un prof te mette la totalité des points pour cette réponse.

Helenn
. . . qui ont pour dérivée 1, non? . . .
Non, pas vraiment. Les 2 abscisses telles que f’(x) = 1 sont en fait les cas particuliers pour lesquels la solution est unique (1 seul point d’intersection). Ce sera plus clair avec le graphique.

Donc encore un coup de tableur qui s’impose :

Le nombre de solutions de l’équation f(x) = x + k correspond effectivement au nombre de points d’intersection entre Cf (la courbe représentative de la fonction f) et la droite d’équation réduite y = x + k (droite parallèle à l’asymptote y = x )
Les solutions éventuelles de l’équation correspondent aux abscisses des points d’intersection.

Si k ∈ ] – inf ; k’ [ U ] k’’ ; + inf [ alors f(x) = x + k n’admet aucune solution.
Aucun point d’intersection entre Cf et la droite y = x + k
Exemples : droites violette et bleu clair

Si k ∈ ] k’ ; k’’ [ alors f(x) = x + k admet deux solutions distinctes.
La courbe Cf et la droite y = x + k ont exactement 2 points d’intersection
Exemple : droite jaune

Si k ∈ { k’ ; k’’ } alors f(x) = x + k admet une solution unique.
La courbe Cf et la droite y = x + k ont 1 point d’intersection unique.
Das ce cas précis, les abscisses des points d’intersection correspondent aux solutions de l’équation f’(x) = 1 et les droites d’équation y = x + k correspondent aux tangentes que tu as dû trouvées à la question 4)

y = x + [ (-2 - √5) / 2 ] droite en rouge foncé
y = x + [ (-2 + √5) / 2 ] droite en vert

Le voilà le lien entre les questions 4 et 5 que l’on te demande d’établir

Mets ça à ta sauce, ça devrait rouler.

Bon, j’retourne à mes passionnantes révisions . . . saloperies de cartes de géo

Ok ok !! merci beaucoup pour tout ce temps que vous avez passé dessus , je vous échangerais bien contre mon prof de maths !! :rolling_eyes:
et bonne chance pour votre géo