Suite de Fibonacci et nombre d'or

Bonjour,

J'aurai besoin d'aide sur un exo sur la suite de fibonacci...
Alors la suite est définie par $U_{n+2}$ = $U_{n+1}$ + $U_n$

Et on me donne une autre suite $V_n$ = $U$ {n+1} $U</em>{n }$
J'ai déja montré montré que $V_{n+1}$ = $1+1/V_n$
que φ=(1+√5)/2 vérifiait la relation φ²-φ=1
et que $V_{n+1}$ -φ= (φ-1)(φ $- V$ _n $V_n$

On me demande de déduire que | $V_{n+1}$ -φ| ≤ 0,7| $V_n$ -φ|

Merci d'avance...

Bonjour,
Y a-t-il un lien entre Un et Vn ?
Qu'est-ce que n' ?
Peux-tu vérifier ton énoncé ?

Oui, excuse moi.. J'ai mis des V à la place des U pour Vn...
Et le ' à coté du n était une virgule...

Bon je pense que ça doit être bon maintenant

es-tu sûr que φ² + φ = 1 ?
Ce n'est pas ce que je trouve.

Faute d'inattention encore une fois... Décidément...

Vn+1-φ= (φ-1)(φ-Vn)/Vn

Peux-tu me détailler ce calcul ?

Vn+1 - φ = 1 + 1/Vn - φ
= φ² - φ + (φ²-φ)/Vn - φ
= (Vn (φ² - φ) + φ² - φ - φ.Vn) / Vn
= (Vn.φ² - Vn.φ + φ² - φ - φ.Vn) / Vn
= (-Vn.φ + φ² - φ + Vn(φ² - φ)) / Vn
= (-Vn.φ + φ² - φ + Vn) / Vn
= (φ-1)(φ-Vn) / Vn

OK
Et pour l'inégalité demandée : c'est pour n'importe quel rang n ?

A priori oui, on demande de déduire l'inégalité à partir de Vn+1-φ= (φ-1)(φ-Vn)/Vn qui est valable pour tout n...

C'est φ - 1 qui est inférieur à 0,7
Mais Vn intervient dans le résultat , et on n'a aucun renseignement sur lui.
N'est-il pas dit quelque part que Vn est positif , ou Un ?

Bah $U_0$ = 1 et $U_1$ = 1... donc Un est positif..

Et Vn l'est aussi donc...

Oui , mais ça ne suffit pas.
Vn+1 = 1 + 1/Vn , et Vn >0 , donc Vn > 1 dès que n > 0.
Dans ce cas , tu dois pouvoir parvenir au résultat.

C'est bien le cas ici... Enfin il me semble...

Et bien , tu ne peux pas continuer ?
$V_{n+1}$ - φ = (φ -1)(φ - $V$ n $V_n$
Donc :
| $V</em>{n+1}$ - φ| = (φ -1)|φ - $V_n$ | $V_n$
| $V_{n+1}$ - φ| ≤ 0,7 |φ - $V_n$ | $v_n$
Et puisque $V_n$ > 1 , je te laisse achever.
A+

Oulà, désolé mais je ne te suis plus...
Pourquoi seul φ - Vn est en valeur absolue ?
Et j'ai pas compris en quoi Vn > 1 permettait de conclure...

Rebonjour,
Toutest en valeur absolue , et pas seulement φ - Vn
Simplement , je ne les ai pas écrites car φ>1 , donc |φ - 1| = (φ - 1)
et Vn > 0 , donc |Vn| = Vn
On a donc : |Vn+1 - φ| = (φ -1)|φ - Vn|/Vn
Mais φ-1 = |φ-1| < 0.7 ( φ≈1.618 )
Donc |Vn+1 - φ|< 0.7 |φ - Vn|/Vn
Or Vn >1 , donc 1/Vn < 1 ( Vn est positif ),
donc |Vn+1 - φ|< 0.7 |φ - Vn|

Ok d'accord......

Et bien merci encore pour ton aide..

De rien.