Montrer alignement de points et égalités de vecteurs

[Joulay40]

Bonjour, je bloque sur ce devoir maison et j'ai besoin d'un peu d'explication et d'aide.
Si vous pouviez m'aider ça serait très gentil de votre part.

Exercice :

Dans un tringle ABC, I est le milieu de [BC] et J celui de [AI].
La droite (BJ) coupe (AC) en K.

On se propose de démontrer que le vecteur AK = 1/3 du vecteur AC.

1. Déterminer les coordonnées des points A, B, C, I et J dans le repère (B ; Vecteur BA ; vecteur BC )

2. On note (x ; y) les coordonnées du point K dans ce repère.
   a) A, K et C sont alignés. On peut dire que vecteur AK et vecteur AC sont colinéaires. Etablir une relation entre x et y, qui traduit cette colinéarité.
   b) De même B, K et J sont alignés.
   Etablir une relation entre x et y, qui traduit cette colinéarité.
   c) En déduire les coordonnées de K, puis démontrer que vecteur AK = 1/3 du vecteur AC

Voilà ce que j'ai trouver :

1. Les coordonnées du point A (1 ; 0)
   B (0 ; 0)
   C (0 ; 1)
   I ( 0 ; 1/2)
   J ( JE BLOQUE ) Je voudrais avoir de l'aide pour trouver ces coordonnées s'il vous plait !

2. a)Il faut utiliser le formule.
   Si on a vecteur u (x ; y) et vecteur v (x' ; y')
   xy'-x'y=0
   b) Pareil
   c) JE NE SAIS PAS j'aimerais bien avoir de l'aide s'il vous plait ...

J'attend votre aide ! j'espère que vous allez pouvoir m'aider.
Merci a tout le monde d'avance
Bisous et a bientot j'espère.

[unknown]

Salut voici une figure peut-etre que sa va t'aider:


1. les coordonnées de tes points sont bon.
   Pour J, rappelle toi de la formule afin de calculer le milieu d'un segment.

[Joulay40]

Merci pour la figure.
Je sais calculer les coordonner du milieu mais sa ferait :
J ( 1/2 ; 1/4) ??

[unknown]

Oui tu peux utiliser cette formule:
$i(\frac{x_a+x_b}{2};\frac{y_a+y_b}{2}) \$
2)a)Tu as donné la formule general, ici sa donne quoi?

[Joulay40]

Oui c'est celle que j'ai utilisé pardon je l'ai pas marqué...
2.a) Vecteur AK - vecteur AC = 0

Vecteur AK ( x-1 ; y ) Vecteur AC ( -1 ; 1 )

(x-1) X1 - y X - 1 = 0
x - y = 1

[unknown]

C'était juste pour la rappeler^^
Utilise * pour l'opération et x pour la variable...
2)a)non je trouve x+y=1

[Joulay40]

D'accord merci pour le conseil
Oui pardon moi aussi !
Je fais pareil pour le 2.b) et je te le dis !

[unknown]

Oki mais excuse moi j'avais mis oui pour le a mais tu as faux.
Verifie ici:
(x-1) X1
-y*
-1 = 0

[Joulay40]

Oui sa fait x+y=1
Non ?

[unknown]

Oui allez fait la suivante...

[majdouline]

pour les cordonnes de J essaie de calculer BJ en fonction de BA et BC(je parle des vecteur)
alors si tu trouve
BJ=αBA+βBC alors J(α;β)
on commence par
BJ=BA+AJ et apres...

[Joulay40]

Merci Majdouline.
Je vais essayer de le faire avec cette méthode aussi !

[Joulay40]

Vecteur BK ( x ; y )
Vecteur KJ ( x - 1/4 ; y - 1/2)

-1/2 x - 1/2 y = 0

[unknown]

Non, fait plus simple utilise les vecteurs
BK(x;y) et BJ(1/2;1/4)

[Joulay40]

J'applique la formule sur vecteur BK et vecteur BJ ?

[unknown]

Oui, celle que tu as donné dans ton premier message

[Joulay40]

D'accord je te dis sa ...

[majdouline]

salut pour la derniere question
essaie de trouver l'equation de la droite (BK) puisqu'on connait deja les cordonnes de B et K....et apres trouver celle de la droite (AC).....K et le point de rencontre des droite (AC) et (BK)...alors apres trouver les equation des deux droite tu as un systeme à resoudre...c clair mnt?

[Joulay40]

Euh ..
C'est compliqué là ... XD

[unknown]

Non pas plus que tout à l'heure:
BK(x;y) et BJ(1/2;1/4)

$x{y}^{\prime }-x^{\prime }y=0x(\frac{1}{4})-(\frac{1}{2})y=0$
Une ligne et ta fini je te laisse la faire...

[Joulay40]

Ah !
Oui !
On reviens au meme niveau que toute a l'heure !!
Je trouve 1/4x - 1/2 y = 0

[unknown]

Excellent!!!!!
Pour la dernière question tu as une idée?

[Joulay40]

Non pas du tout ... :S
Je vois pas comment faut faire...

[unknown]

Tu as les équation des droites (BK) et (CK) et tu sais qu'il se coupe en K.
Donc tu cherche les coordonnées du point d'intersection (K) en résolvons un système sais-tu lequel?

[Joulay40]

Je sais pas comment faire pour trouver les équations des droites...

[unknown]

Tu viens de les calculer^^
Tu as l'équation de la droite CK qui est celle de la question 2)a et celle de la droite (BK) qui est celle de la question 2)b) tu comprends pourquoi?

[Joulay40]

Ah oui !!
Pck il y a le y ! Non ?

[majdouline]

re
bon j'explique un peu plus...
pour trouver l'equation de la droite (BK) ...premiere remarque (BK) passe de l'origine ...alors considerons (bk):y=ax
k(1/2;1/4)£(BK)
remaplcon dans l'equation x et y par leurs valeurs
1/4=1/2a alors a=1/2
donc (bk):y=1/2x

mnt pour la droite (AC)
notons (AC):y=ax+b
A(1;0)£(AC) rempplaçons les cordonnes de A dans l'equation
0=1a+b alors a+b=0 d'où a=-b
et on a C(0;1)£(AC) remplaçons encore une fois les cordonnes de C dans l'equation
1=0x+b alors b=1 d'où a=-1
d'où l'equation devient (AC):y=-x+1

on a (BK):y=1/2x
(AC):y=-x+1

mnt tu dois resoudre l'equation 1/2x=-x+1 trouver x de K et apres en deduire son y ..alors c plus clair?

[Joulay40]

Euh ...
Je vais essayer de le faire !
Merci je te tiens au courant !

[unknown]

As tu compris les explications de Madjouline?
Si oui c'est parti pour résoudre ce système* qui permet de trouver les coordonnées du point K, sinon on essaye de mieux t'expliquer.
$* \left{ { x+y=1\ \frac1{4}x-\frac1{2}y=0} \right.$

[Joulay40]

Oui j'ai compri !!
Je vais résoudre le système et je vous donne la réponse que j'ai trouvé !

[unknown]

Oki...Merci madjouline

[Joulay40]

y = 1/12

x = 11/ 12

??

[unknown]

Aïeee
Détails tes calculs pour que je cherche ton erreur...

[Joulay40]

Ah oui attend !

[unknown]

[majdouline]

nn pas ça joulay40....essaie de resoudre l'equation dont je t'ai parlé

[Joulay40]

y = 1 / 3
x = 2 / 3

??

[unknown]

Oui!!!!
Il te reste a prouver que AK=1/3AC c'est facile sa non?

[Joulay40]

Donc K ( 2 / 3 ; 1 / 3 ) ??