Ex sur les limites.

Bonjour,
Je fais un gros blocage sur un exercice, je n'ai aucun cours dessus et ce que j'ai pu trouver sur internet ne m'éclaire pas beaucoup... je vous mets l'énoncé en espérant avoir un peu d'aide ! Merci

Le taux en pourcentage des ménages équipés d'ordinateurs personnels est donné par la fonction f définie sur [0;+∞[ par f(t)= (85t+b)÷(t+c) où t est le temps écoulé en années depuis 1997. On sait que depuis 1997, ce taux était de 16%, et qu'il est passé à 50.5 % en 5 ans.

a) Compte tenu des renseignements ci-dessus, trouver b et c.
b) . Calculer f'(t) . Etudier le signe de f'(t) sur Df . Calculer les limites aux bornes de Df . Dresser le tableau de variation complet de f.
c) Le taux d'équipement des ménages pourra-t-il atteindre 90 %? Justifier.
d) Déterminer en quelle année, 70 % des ménages seront équipés et combien d'années seront alors nécessaires pour que ce taux passe à 80 %.

Bonjour,

On dit que : t est le temps écoulé en années depuis 1997, donc

Quelle valeur doit prendre t pour connaitre le taux en 1997 ?

Quelle valeur doit prendre t pour connaitre le taux 5 ans plu tard ?

En 1997 : f(t) = (85+b)÷c
5 ans plus tard : f(t) = (425+b)÷(5+c)

Mais je ne vois pas du tout comment on peut trouver les valeurs, même si l'on a 16% et 50.5 %...
Le reste de l'exercice je pense savoir le faire mais cette question m'empêche d'avancer...

Est ce qu'il serait possible que quelqu'un m'aide ne serait-ce que pour la 1ere question svp...

t est le temps écoulé en années depuis 1997, donc

Donc , si on donne à t la valeur 3 , on trouvera le taux de pourcentage de quelle année ?

Et par quelle valeur doit on remplacer t pour connaitre le taux en 1997 ?

Et par quelle valeur doit on remplacer t pour connaitre le taux 5 ans +tard ?

Si t=3 on trouve le taux de pourcentage de 2000 (mais je comprend pas bien a quoi cela va me servir... =/)
Pour 1997 t=0 Et 5 ans plus tard t=5 ... ?

J'ai pris 3 comme exemple pour te faire comprendre que

f(0) donne le taux de 1997 et f(5) donne le taux de 1992

Vois-tu les 2 équations que cela te permet d'écrire pour trouver les 2 inconnues b et c ?

Alors à t=0 on a f(0) = 16 et à t=5, on a f(5)=50.5
Grâce à ce qu'on vient de nommer et de reprendre de l'énoncé, on peut écrire un système d'équations à deux inconnus qui se définit comme ceci :
(S) { f(0) = 16 et f(5) = 50.5
donc ca te donne pour f(0) = 16
(85 x 0 + b) / (0 +c) = 16
(85 x 5 + b) / (5 + c) = 50.5

Donc b/c = 16
et 425 + b / 5 + c =50.5

...?

Bonjour,

Ton système est juste (N'oublie pas les parenthèses).
il te reste à le résoudre.

Oulala, les fractions me posent un probleme là...
J'ai beau essayer mais je suis bloqué..
{b÷c=16 donc b=16c
{(425+b)÷(5+c) donc logiquement (425+16c)÷(5+c)
mais du coup comment trouver c...

Tu résous (425+16c)/(5+c)= 50,5

mais y a un probleme puisque les "c" s'annulent ?

Indique tes calculs. Tu dois faire une erreur.

425+16c/5+c=50.5
425+16c-50.5(5+c)=0
425+16c-252.5-50.5c/5+c=0
-34.5c+172.5/5+c=0

on sait que 5+c ≠ o , on résout -34.5c+172.5=0
-34.5c+172.5=0
-34.5c=-172.5
c=-172.5/-34.5
c=5
donc
{b=16×5=80
{c=5
...?

Les résultats sont justes.

Merci
Alors la suite sans détails,

f'(t) =345/(t+5)²
f'(t)>0 car 345>0 et (t+5)²>0 sur Df
Euh pour les limites en 0 et +∞ je vois pas trop vu qu'il y a le carré..

Ce sont les limites pour f(t), donc il n'y a pas de carré.

Daccord...
Donc - en 0 :
lim 85t+80 =80
t→0
lim t+5=5
t→0
donc par division, on a lim f(t)= 80/5=16
t→0

en +∞:
f(t) = [t((85t+80)/t)]/[t((t+5)/t)]
=[(85t/t)+(80/t)]/[(t/t)+(5/t)]
=[85+(80/t)]/[1+(5/t)]

lim 85+(80/t)=85
t→+∞
lim 1+(5/t)=1
t→+∞

donc par division, on a : lim f(t)= (85/1) = 85
t→+∞

C'est juste.