nombres entiers consécutifs composés : Spé math TS nombres premiers

Bonsoir, voila j'ai un petit soucis avec un exo de spé math sur les nombres premiers. Voici l'énoncé :

Le but de l'exercice est de démontrer que si l'on choisit un entier k > 1, il existe k nombres consécutifs qui ne sont pas premiers, et même qu'il existe une infinité de séquences de k termes consécutifs non premiers (c'est-à-dire que l'écart entre deux nombres premiers consécutifs peut être aussi grand que l'on veut).

n est un entier, n>k. On pose

U_0 = n! , U_1 = n! + 1 , U_2 = n! + 2 , ... , U_k = n! + k
Démontrer que pour tout entier m tel que 2 ≤ m ≤ k, chacun des nombres Um est composé.

Je suis bloqué à cette question. Je ne vois pas du tout comment faire. Je pensais au raisonnement par récurrence mais ç'est trop compliqué.
Un nombre composé est un nombre qui n'est pas premier c'est ça?

Je ne vois pas comment on peut montrer avec une suite qu'ils ne sont pas premiers.

Auriez-vous une idée ? ça me parait impossible .

je vous en remercie d'avance.

salut

fais bien attention à cette donnée : k est plus petit que n, donc k figure dans l'énumération 1,2 ,3, 4, ... , n-1, n.

comprends déjà que U_2 = n! + 2 est divisible par... 2.
de même U_3 = n! + 3 est divisible par ....

pour fabriquer par exemple 5 nombres entiers composés consécutifs, on peut prendre
7! + 2, 7! + 3, 7! + 4, 7! + 5, 7! + 6
tu es convaincue ?

oui je suis tout a fait d'accord mais je ne comprend pas comment démontrer que cette suite comprend des nombres composés et pourquoi k < n ?

comme tu l'as vu pour U_2, pour U_3 : tu dois voir que m figure comme facteur dans n! = 1×2×3×...×(m-1)×m×(m+1)×...×(k-1)×k×(k+1)×...(n-1)×n

k inférieur strictement à n : justement pour que la somme n! + m soit factorisable. dans les exemples précédents, si j'avais choisi 7! + 11 ça ne marchait plus !

ah oui d'accord! et comme m figure comme facteur sa prouve que Um est composé? Que serait la démonstration, il suffit de mettre que n! = 1×2×3×...×(m-1)×m×(m+1)×...×(k-1)×k×(k+1)×...(n-1)×n ???

C'est à mon avis une très mauvaise idée de décomposer n!, ça rend la démonstration difficile à lire pour rien. Il suffit de dire qu'il est divisible par tout nombre inférieur à n.
m est inférieur à n donc divise n!, m se divise bien sûr lui même.

Après ça il n'y a plus qu'à utiliser le fait que si a divise b et c alors a divise b+c (par simple mise en facteur).

P.S : Ça ne permet pas de démontrer que n!+1 est composé, ce n'est pas le cas en général. Par exemple 11!+1 est premier.

s321 : la décomposition que tu trouves illisible, c'est pour faire comprendre. hein.

je reprends, ema33 : maintenant que tu as vu que m est un facteur de n!, alors tu peux écrire comme le dit s321 que n! = m×q et alors tu as en factorisant par m

U_m = m(q + 1).
c'est ce qui prouve que U_m est composé, puisque m est supérieur à 2.

Bonjour,
Donc si j'ai bien compris, on a m qui divise n! donc n! = mxq (q un entier).
Les nombres Um sont de la forme Um= n! + m donc Um = mxq+m
d'ou Um = m (q+1)
Donc Um est composé car m est supérieur à 2 (c'est pas un nombre premier)
Ais-je bien compris le raisonnement?

oui, c'est bien cela.

merci beaucoup!!!!!!
La dernière question consiste à en déduire que l'ont peut trouver par exemple une infinité de séquences de 10^5 termes consécutifs non premiers.
Est ce qu'il faut dire que grâce a la démonstration ci dessus, on a montré qu'il existe une infinité de séquences de k termes consécutifs non premiers et donc que l'on peut trouver 10^5 termes consécutifs non premiers?

la démo précédente montre que pour tout entier n strictement supérieur à 2 et pour tout entier k supérieur à 2 mais inférieur strictement à n, on forme ... composés consécutifs. c'est là qu'il faut noter que dans la suite

U_0 = n! , U_1 = n! + 1 , U_2 = n! + 2 , ... , U_k = n! + k,
tu n'as que k-2 consécutifs composés : ce sont

U_2 = n! + 2 , ... , U_k = n! + k.

quel choix de n et k par exemple pourrais-tu faire pour avoir 100 000 composés consécutifs ?

pourquoi k-2 consécutifs composés?

tu as raison : c'est k**-1**.

j'arrive pas à trouver n et k pour avoir 100 000 consécutifs composés

je dirais, d'après ce qui précède, qu'il faut que k-1 dépasse (ou égale) 100 000 et aussi que n soit strictement supérieur à k, d'où...

donc k≥100 001 et n>k

est- ce exact?

ah pardon j'avais pas compris qu'il s'agissait d'une question.

oui, on peut prendre n=100 002 et k=100 001.

c'est pas grave!!
En tout cas merci beaucoup de votre aide qui m'a été très précieuse.

je t'en prie !
@+

Si j'ai bien lu, on te demande de démontrer qu'il existe une infinité de séquence de 100000 termes composés consécutifs.
C'est facile à justifier car il te suffit d'avoir k≥100 001 et n>k comme tu l'as dis, ce qui admet bien sûr une infinité de solutions. Mais il faut le préciser.