jeu de fléchettes et proba (ex : Je ne comprends pas très bien mon énoncé)

*Bonjour, j'aurais voulu savoir si vous pourriez m'aider à faire un exo de mon DM de maths (en particulier la 1ère question car je n'y arrive pas et donc je ne peut pas faire le reste).

Bon voilà je vous dit l'énoncé en espérant que vous pourrez m'aider: *

Un joueur joue au fléchettes.

Il tire sur une cible, constituée de quatre zones concentriques de rayons 5, 10, 15, 20 cm, comme l'indique la figure :

On admet que la probabilité de toucher une zone est proportionnelle à l'aire de cette zone, et que la probabilité de manquer la cible est égal à 1/4.

On admet en outre que la probabilité d'atteindre une ligne séparant deux zones est nulle.

Enfin la règle du jeu est la suivante:

-si la flèche rencontre la zone centrale noire, le joueur gagne 15 euros.
-si elle rencontre la zone rouge, il gagne 2 euros.
-si elle rencontre la zone bleue, il perd 2 euros.
-si elle rencontre la zone verte (la dernière), il perd 4 euros.
-si elle n'atteint pas la cible, il perd 8 euros.

On désigne par X le gain du joueur (positif ou négatif).

Quelle est la loi de X ?
Quelle est la probabilité pour que le gain du joueur soit positif ?
Le joueur joue mille fois. Que peut-on penser de son gain au bout de des mille parties?

J'espère que vous pourrez m'aider.*

salut

si on n'avait pas la proba 1/4 de louper la cible (ie on touche à 100%), on aurait

la proba de toucher "Noir" est $p i$ ×5²/( $p i$ ×20²) = 25/400 = 0,0625
celle de toucher "Rouge" est [ $p i$ ×10² - $p i$ ×5²]/( $p i$ ×20²) = 75/400 = 0,1875

etc.

maintenant, on sait que la proba de louper la cible est 1/4, donc celle de toucher est 3/4. comment modifier les probas précédentes pour tenir compte de cette contrainte ?

Merci de l'aide que tu m'apportes, mais pourquoi tu divise par (Pi×20²), car moi j'avais fait ça mais sans divisé par (Pi×20²). Et j'ai trouvé des nombres énormes donc c'est toi qui doit avoir bon.
Sinon pour modifier les résultats je sais pas du tout, peut-être en les divisant, en faisant un produit un croix, je vois pas du tout.

Merci de ton aide

Edit de Zorro : suppression de la partie concernant la dérivée recopiée dans un autre sujet

il ne faut pas tout mélanger : on reste sur l'exo de proba ici - ouvre une autre discussion pour ton histoire de dérivée.

j'ai divisé par l'aire de toute la cible pour avoir la proportionnalité demandée. de plus, une proba doit être comprise entre 0 et 1, n'est-ce pas.

maintenant, toutes les probas trouvées doivent être multipliées par 3/4...

Merci de m'avoir répondu, mais après avoir réfléchis toute la soiré (lol) et essayé pleins de méthodes, j'ai multiplié par 3/4 et la somme des probabilités était bien égal à 1 donc je me suis dit que ça devait être ça. Et là ça me le confirme bien car je viens de lire ton message.
Par contre pour la deuxième question, le gain sera positif seulement si la fléchette touchera la zone rouge et noire donc ne faut t-il pas additionner la probabilité rouge et noire, c'est-à-dire (3/64) + (9/64) = 3/16.
Merci de l'aide que tu m'a apporté pour la première question.

Oui ici , avec les évènements :

A : ""il touche la zone rouge""

B : ""il touche la zone noire""

On a bien A ∩ B = ∅ donc P(A ∩ B) = 0

Et ""il touche la rouge ou la noire"" c'est l'évènement A ∪ B

Et quelle formule donne P(A ∪ B) ?

Les probas c'est comme le reste, pour annoncer un résultat, il faut prouver qu'il est juste ! Ce n'est pas du raisonnement au pif !

la formule s'est: P(A ∪ B)=P(A) + P(B) - P(A ∩ B)
donc ça fait P(A ∪ B)=(3/64) + (9/64) - ???( je ne vois pas ce qui appartient à la fois à A et à B.

Tu a vraiment bien tout lu ? :

On a bien A ∩ B = ∅ donc P(A ∩ B) = 0

Désolé j'ai pas fait attention.
Alors ça fait :
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)
= (3/64) + (9/64) - 0
= 3/16
C'est ça???
Merci de ton aide.

oui c'est bien ça !

merci c'est très sympa de m'avoir aidé
Pour la dernière question c'est que son gain sera multiplié par mille comme il joue mille parties?????? nan c'est avec l'espérance mathématique je crois???????

Ce n'est pas vraiment une réponse très mathématique !

Je pense qu'on attend de toi que tu trouves une variable aléatoire à définir et déterminer sa loi de proba , et son espérance.

Alors:

-la variable aléatoire : {+15 si N, +2 si R, - 2 si B, -4 si V, -8 si A}
N = noire ; R = rouge ; B= bleu ; V = vert ; A = ailleur que la cible.

-la loi de probabilité : {3/64 si N, 9/64 si R, 15/64 si B, 21/64 si V, 1/4 si A}
D'habitude on le fait sous forme de tableau c'est plus simple mais bon là je peut pas.

-espérance:
E(X) = (3/64)15 + (9/64)2 + (15/64)(-2) + (21/64)(-4) + (1/4)*(-8)
= -179/64
égal environ -2.80
Oui mais après je fais comment car on me demande que peut-on penser de son gain au bout de milles parties?

Que représente l'espérance, que tu as trouvée, dans ce genre de jeu ?

Ba comme l'espérance est négative, l'avantage est à celui qui organise le jeu et pas celui qui joue.

Oui , mais si on calcule l'espérance c'est pour savoir quoi ?

Réponse :

C'est pour savoir si le joueur a intérêt ou non à participer à ce jeu , car de ce calcul on trouve quoi ?

Donc non il a pas intérêt à participer à ce jeu car l'espérance est négative. C'est ça

Oui mais l'espérance représente "l'espoir" de gain pour une partie .

Donc en moyenne , pour une partie , un joueur risque de perdre 2,80€

Alors pour 1000 parties ?

Ce que j'ai trouvé me parrait énorme:
[1000 * (-2.8) ] / 1 = -2800 euros.

Pourquoi /1 ?

Tu utilises quelle formule ? Tu le justifies comment ton calcul ?

Ba je fais le produit en croix:
1 -2.8
1000 ??

Donc: [1000 * (-2.8)] / 1

Tu fais un produit en croix quand tu connais le prix d'un kilo de patates et que tu veux savoir ce que tu vas payer si tu en achètes 2,5kg !

Oh lala cette cochonnerie de produit en croix ! Vive la règle de 3 ! Les élèves ne comprennent même pas ce qu'ils font , même en 1ère S !

ba on fait simplement 1000 * (-2.8) = -2800
donc il perdra 2800 euros.
C'est ça

Oui ! c'est bien ça

merci de ton aide pour cette exercice.

cet exercice car exercice est un mot masculin !

Je t'en prie !