suites , une formule utile


  • L

    bonjour ,
    voici mon sujet :
    on veut démontrer que tout entier naturel n , 1²+2²+3²+4²+.....+n²=(n(n+1)(2n+2))/6

    soit deux suites (an(a_n(an)n≥1 et (bn(b_n(bn)n≥1 définies par :
    ana_nan=1²+2²+3²+4²+....+n² et bnb_nbn=n(n+1)(2n+1)/6

    1. calculer b1 et a1 : pour b1 j'ai trouvé 1 mais je ne sais pas comment calculer pour a1

    démontrer que pour tout n≥1: aaan=a</em>n−1=a</em>{n-1}=a</em>n1+n²
    bnb_nbn= bn−1b_{n-1}bn1+n²
    je bloque sur cette question , quelle formule est ce que je dois utiliser ?


  • S

    Bonsoir,

    bn=n(n+1)(2n+1)/6 est la formule à utiliser, pour répondre à ta question.


  • C

    Salut,

    Pour n=1
    A1 = 1² = 1 tout simplement. Pas d’hésitation à avoir.

    Pour tout n naturel tel que n≥1:

    an−1a_{n-1}an1+n²
    = 1²+2²+3²+4²+.....+(n-2)² +(n-1)²+n²
    = ana_nan
    Ca, je pense que tu as dû trouver.

    Pour montrer que bnb_nbn= bn−1b_{n-1}bn1+n² il sera plus simple de :

    Développer d’abord bnb_nbn et bn−1b_{n-1}bn1 :

    bnb_nbn= (n(n+1)(2n+1))/6
    = . . .
    = ( 2n3 + 3n² + n) / 6

    bn−1b_{n-1}bn1
    = [ (n-1)(n-1+1)(2(n-1)+1) ] / 6
    = . . .
    = ( 2n3 - 3n² + n) / 6

    Puis de calculer bn−1b_{n-1}bn1+n² :

    bn−1b_{n-1}bn1+n² =
    = ( 2n3 - 3n² + n) / 6 + n²
    = ( 2n3 - 3n² + n) / 6 + 6n²/6 en mettant tout au même dénominateur
    = . . .

    pour retomber sur l’expression développer de bnb_nbn par le plus grand des hasards 😉


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