suites , une formule utile

[latortue49]

bonjour ,
voici mon sujet :
on veut démontrer que tout entier naturel n , 1²+2²+3²+4²+.....+n²=(n(n+1)(2n+2))/6

soit deux suites $(a_n$)n≥1 et $(b_n$)n≥1 définies par :
$a_n$=1²+2²+3²+4²+....+n² et $b_n$=n(n+1)(2n+1)/6

1. calculer b1 et a1 : pour b1 j'ai trouvé 1 mais je ne sais pas comment calculer pour a1

démontrer que pour tout n≥1: $a$n$=a</em>n-1$+n²
$b_n$= $b_{n-1}$+n²
je bloque sur cette question , quelle formule est ce que je dois utiliser ?

[Shloub]

Bonsoir,

bn=n(n+1)(2n+1)/6 est la formule à utiliser, pour répondre à ta question.

[CQFD]

Salut,

Pour n=1
A1 = 1² = 1 tout simplement. Pas d’hésitation à avoir.

Pour tout n naturel tel que n≥1:

$a_{n-1}$+n²
= 1²+2²+3²+4²+.....+(n-2)² +(n-1)²+n²
= $a_n$
Ca, je pense que tu as dû trouver.

Pour montrer que $b_n$= $b_{n-1}$+n² il sera plus simple de :

Développer d’abord $b_n$ et $b_{n-1}$ :

$b_n$= (n(n+1)(2n+1))/6
= . . .
= ( 2n3 + 3n² + n) / 6

$b_{n-1}$
= [ (n-1)(n-1+1)(2(n-1)+1) ] / 6
= . . .
= ( 2n3 - 3n² + n) / 6

Puis de calculer $b_{n-1}$+n² :

$b_{n-1}$+n² =
= ( 2n3 - 3n² + n) / 6 + n²
= ( 2n3 - 3n² + n) / 6 + 6n²/6 en mettant tout au même dénominateur
= . . .

pour retomber sur l’expression développer de $b_n$ par le plus grand des hasards