Spé Maths Arithmétique

Bonjour,

Je sollicite votre aide pour les deux dernières questions de cet exercice de spé.

On considère la suite (Un) d'entiers naturels définie par:U0=14 et pour tout entier naturel n, U(n+1)=5Un-6

1.Calculer U1,U2,U3,U4.
Quelle conjecture peut on émettre concernant les 2 derniers chiffres de Un ? Pas de problème pour ça.

Démontrer que pour tout n appartenant à N U(n+2)≡Un [4]
En déduire que: pour tout k appartenant à N U(2k)≡2 [4] et U(2k+1)≡0 [4] Pas de pb

3a.Démontrer par récurrence que: pour tout n appartenant à N 2Un≡5^(n+2)+3 Pas de pb

3.b En déduire que: pour tout n appartenant à N 2Un≡28 [100] Pas de pb

Déterminer les 2 derniers chiffres de l'écriture décimale de Un suivant les valeurs de n. Je n'ai pas réussi à les déterminer mais j'ai eu une idée:

Un=a010^0+10^1a1+10²a2+10^3a3+...+10^pap (puisque tout nombre s'écrit sous cette forme)
Un=a0+10a1+10²q (où q=a2+10a3+...+ap*10^(p-1))

Donc 2Un≡2a0+20a1 [100]
Donc 2a0+20a1≡28 [100]
Donc a0+10a1≡14 [50]
Et c'est là où je bloque... Je me dis qu'il faut que j'arrive à un résultat de ce genre:
Encadrer a0a1 entre 0 et 99 (puisque c'est un nombre à 2 chiffres) et puis en utilisant a0a1=reste+diviseur*k (k entier relatif), je pourrais trouver les valeurs possibles de k ce qui me permettrait de trouver les valeurs de a0a1 (il devrait y en avoir 2 logiquement: 14 et 64). Mais voilà ça me semble être trop compliqué et selon moi ça ne mène à rien...

5.Démontrer que le PGCD de 2 termes consécutifs de la suite (Un) est constant. Préciser sa valeur.

Voici ce que j'ai fait: Soit dn=pgcd(Un+1, Un)

dn/Un et dn/Un+1
Donc dn/5Un-Un+1
Ainsi dn/6
Les valeurs possibles de dn sont donc 1,2,3,6.
U0=14. Or 3 et 6 ne divisent pas U0.
Il ne reste plus que 1 et 2.
Et là j'ai fait n'importe quoi: pgcd(U0,U1)=pgcd(14,64)=2 qui est différent de 1.
Finalement il ne reste plus que 2.
DONC pgcd(Un,Un+1)=2

Merci de votre aide!

Bonjour,
Pour la question 4, tu peux utiliser les résultats précédents :
U(2k) ≡ 2 [4] et U(2k+1) ≡ 0 [4]

Pour la question5, il suffit de remarquer que tous les Un sont pairs pour trancher entre 1 et 2.

Bonjour et merci d'avoir répondu.

4/ Je ne comprends pas comment on peut passer de U(2k)≡2[4] au résultat voulu c'est-à-dire les deux derniers chiffres sont 1et 4.

5/ Est-ce qu'il suffit de remarquer que tous les termes de la suite (Un) sont pairs ou faut-il démontrer que ∀n ∈ N, Un≡0[2]?

Bonne journée

Pour la 5 , il suffit d'utiliser le résultat de la 4 : on connait le dernier chiffre des Un.

Pour la 4 :
On a U(2k) ≡ 2 [4] donc U(2k) = 2 + 4m ( où m est un entier ).
De plus, 2.U(2k) ≡ 28 [100] donc 2.U(2k) = 28 + 100p ( p entier ).
Donc : 2 + 4m = 14 + 50p
Donc : 1 + 2m = 7 + 25p
Or, 2 et 25 sont premiers entre eux, tun peux utiliser ... ?

Modification ci-dessus, désolé.
( 2.u(2k) au lieu de U(2k) ).