limite d'une suite et moyenne arithmetique



  • bonjour bonjour
    je viens encore solliciter votre aide
    voila il y a une suite (Pn) definie par recurrence telle que PP{n+4}=(P=(P{n+3}+P+P{n+2}+P+P{n+1}+Pn+P_n)/4

    on note mnm_n= min(Pn+3min(P_{n+3};Pn+2P_{n+2};Pn+1P_{n+1};PnP_n)
    et MMn=max(P</em>n+3=max(P</em>{n+3};Pn+2P_{n+2};Pn+1P_{n+1};PnP_n)
    seule la derniere question pose probleme les autres c'est fait ^^

    1. montrer que mnm_n et inferieur aux nombres Pn+4P_{n+4};Pn+3P_{n+3};Pn+2P_{n+2};Pn+1P_{n+1}
      en deduire que (mn(m_n) est croissante
      etablir de meme que(Mnque(M_n) est decroissante
    2. prouver que m0m_0mnm_npnp_nMnM_nM0M_0
      3)prouver que (Mn(M_n) et (mn(m_n) sont convergentes et que leur limites notées M et m verifient m≤M
      4)montrer que pour tout n on a pn+4p_{n+4}3M3Mn/4+mn/4+m_n/4
      et p</em>n+4p</em>{n+4}3Mn3M_n/4+m/4
      en appliquant la derniere inegalité a pn+5p_{n+5}; pn+6p_{n+6}; pn+7p_{n+7} montrer que Mn+4M_{n+4}3Mn3M_n/4+m/4
    3. en deduire que M≤m,puis M=m et etablir la convergence de (Pn)

    et la c'est la question de la mort 😛 celle qui me bloque

    1. peut on exprimer la limite de (Pn) en fonction de P0P_0 P1P_1 P2P_2 et P3P_3?
      donc si vous pouviez me debloquer ici ca serait vraiment sympa

    j'ai mis les autres questions au cas ou ca servirait mais je vois pas

    merci d'avance



  • Bonjour,
    Une piste :
    Calcule : 1.Pn+4P_{n+4} + 2.Pn+5P_{n+5} + 3.Pn+6P_{n+6} + 4.Pn+7P_{n+7} , et montre que c'est constant.
    Sachant que la suite PnP_n admet une limite, montre que la suite
    SnS_n = PnP_n + 2.Pn+1P_{n+1} + 3.Pn+2P_{n+2} + 4.Pn+3P_{n+3} admet une limite et compare-la avec celle des PnP_n



  • merciiiiiiiiii
    merci beaucoup
    ca je n'y aurait vraiment pas pensé tout seul,
    j'ai une autre question : cette derniere question elle etait dure ou pas a trouver ?
    au moins elle est faite ^^

    encore merci, vous etes vraiment geniaux sur ce forum



  • En fait, c'est en prenant un exemple numérique que j'ai conjecturé le résultat. Pour moi ( mais je ne suis pas une référence ) , le problème est délicat mais intéressant : j'ai l'intention de le proposer sur mon site .



  • ba d'ailleurs je vais y faire un tour ^^

    merci encore et bonne fin de week end 🆒



  • De rien.
    Le problème est prêt, je dispose actuellement de la version PDF.
    Je vais le placer prochainement sur mon site ( mais sans la solution ... ).
    A plus tard.


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