limite d'une suite et moyenne arithmetique



  • bonjour bonjour
    je viens encore solliciter votre aide
    voila il y a une suite (Pn) definie par recurrence telle que PPP{n+4}=(P=(P=(P{n+3}+P+P+P{n+2}+P+P+P{n+1}+Pn+P_n+Pn)/4

    on note mnm_nmn= min(Pn+3min(P_{n+3}min(Pn+3;Pn+2P_{n+2}Pn+2;Pn+1P_{n+1}Pn+1;PnP_nPn)
    et MMMn=max(P</em>n+3=max(P</em>{n+3}=max(P</em>n+3;Pn+2P_{n+2}Pn+2;Pn+1P_{n+1}Pn+1;PnP_nPn)
    seule la derniere question pose probleme les autres c'est fait ^^

    1. montrer que mnm_nmn et inferieur aux nombres Pn+4P_{n+4}Pn+4;Pn+3P_{n+3}Pn+3;Pn+2P_{n+2}Pn+2;Pn+1P_{n+1}Pn+1
      en deduire que (mn(m_n(mn) est croissante
      etablir de meme que(Mnque(M_nque(Mn) est decroissante
    2. prouver que m0m_0m0mnm_nmnpnp_npnMnM_nMnM0M_0M0
      3)prouver que (Mn(M_n(Mn) et (mn(m_n(mn) sont convergentes et que leur limites notées M et m verifient m≤M
      4)montrer que pour tout n on a pn+4p_{n+4}pn+43M3M3Mn/4+mn/4+m_n/4+mn/4
      et p</em>n+4p</em>{n+4}p</em>n+43Mn3M_n3Mn/4+m/4
      en appliquant la derniere inegalité a pn+5p_{n+5}pn+5; pn+6p_{n+6}pn+6; pn+7p_{n+7}pn+7 montrer que Mn+4M_{n+4}Mn+43Mn3M_n3Mn/4+m/4
    3. en deduire que M≤m,puis M=m et etablir la convergence de (Pn)

    et la c'est la question de la mort 😛 celle qui me bloque
    6) peut on exprimer la limite de (Pn) en fonction de P0P_0P0 P1P_1P1 P2P_2P2 et P3P_3P3?
    donc si vous pouviez me debloquer ici ca serait vraiment sympa

    j'ai mis les autres questions au cas ou ca servirait mais je vois pas

    merci d'avance



  • Bonjour,
    Une piste :
    Calcule : 1.Pn+4P_{n+4}Pn+4 + 2.Pn+5P_{n+5}Pn+5 + 3.Pn+6P_{n+6}Pn+6 + 4.Pn+7P_{n+7}Pn+7 , et montre que c'est constant.
    Sachant que la suite PnP_nPn admet une limite, montre que la suite
    SnS_nSn = PnP_nPn + 2.Pn+1P_{n+1}Pn+1 + 3.Pn+2P_{n+2}Pn+2 + 4.Pn+3P_{n+3}Pn+3 admet une limite et compare-la avec celle des PnP_nPn



  • merciiiiiiiiii
    merci beaucoup
    ca je n'y aurait vraiment pas pensé tout seul,
    j'ai une autre question : cette derniere question elle etait dure ou pas a trouver ?
    au moins elle est faite ^^

    encore merci, vous etes vraiment geniaux sur ce forum



  • En fait, c'est en prenant un exemple numérique que j'ai conjecturé le résultat. Pour moi ( mais je ne suis pas une référence ) , le problème est délicat mais intéressant : j'ai l'intention de le proposer sur mon site .



  • ba d'ailleurs je vais y faire un tour ^^

    merci encore et bonne fin de week end 🆒



  • De rien.
    Le problème est prêt, je dispose actuellement de la version PDF.
    Je vais le placer prochainement sur mon site ( mais sans la solution ... ).
    A plus tard.


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