limite d'une suite et moyenne arithmetique

[darkontes]

bonjour bonjour
je viens encore solliciter votre aide
voila il y a une suite (Pn) definie par recurrence telle que $P${n+4}$=(P${n+3}$+P${n+2}$+P${n+1}$+P_n$)/4

on note $m_n$= $min(P_{n+3}$;$P_{n+2}$;$P_{n+1}$;$P_n$)
et $M$n$=max(P</em>n+3$;$P_{n+2}$;$P_{n+1}$;$P_n$)
seule la derniere question pose probleme les autres c'est fait ^^

1. montrer que $m_n$ et inferieur aux nombres $P_{n+4}$;$P_{n+3}$;$P_{n+2}$;$P_{n+1}$
   en deduire que $(m_n$) est croissante
   etablir de meme $que(M_n$) est decroissante
2. prouver que $m_0$≤$m_n$≤$p_n$≤$M_n$≤$M_0$
   3)prouver que $(M_n$) et $(m_n$) sont convergentes et que leur limites notées M et m verifient m≤M
   4)montrer que pour tout n on a $p_{n+4}$≤$3M$n$/4+m_n$/4
   et $p</em>n+4$≤$3M_n$/4+m/4
   en appliquant la derniere inegalité a $p_{n+5}$; $p_{n+6}$; $p_{n+7}$ montrer que $M_{n+4}$≤$3M_n$/4+m/4
3. en deduire que M≤m,puis M=m et etablir la convergence de (Pn)

et la c'est la question de la mort celle qui me bloque
6) peut on exprimer la limite de (Pn) en fonction de $P_0$ $P_1$ $P_2$ et $P_3$?
donc si vous pouviez me debloquer ici ca serait vraiment sympa

j'ai mis les autres questions au cas ou ca servirait mais je vois pas

merci d'avance

[mathtous]

Bonjour,
Une piste :
Calcule : 1.$P_{n+4}$ + 2.$P_{n+5}$ + 3.$P_{n+6}$ + 4.$P_{n+7}$ , et montre que c'est constant.
Sachant que la suite $P_n$ admet une limite, montre que la suite
$S_n$ = $P_n$ + 2.$P_{n+1}$ + 3.$P_{n+2}$ + 4.$P_{n+3}$ admet une limite et compare-la avec celle des $P_n$

[darkontes]

merciiiiiiiiii
merci beaucoup
ca je n'y aurait vraiment pas pensé tout seul,
j'ai une autre question : cette derniere question elle etait dure ou pas a trouver ?
au moins elle est faite ^^

encore merci, vous etes vraiment geniaux sur ce forum

[mathtous]

En fait, c'est en prenant un exemple numérique que j'ai conjecturé le résultat. Pour moi ( mais je ne suis pas une référence ) , le problème est délicat mais intéressant : j'ai l'intention de le proposer sur mon site .

[darkontes]

ba d'ailleurs je vais y faire un tour ^^

merci encore et bonne fin de week end

[mathtous]

De rien.
Le problème est prêt, je dispose actuellement de la version PDF.
Je vais le placer prochainement sur mon site ( mais sans la solution ... ).
A plus tard.