Suite Un

[heyyou]

Bonsoir, j'ai un exercice à faire mais que je n'arrive pas ...

On considère la suite (Un) définie sur |N par : $U\ast <em>0$* = 1 et $U\ast </em>n+1$* = Un +2n + 1

1. Conjecturer l'expression explicite de $U{\ast }_n$* en fonction de n
2. Pour quelle première valeur de n entière a-t'on: Un ≥ $10^6$ ?

Merci à tous pour votre aide si précieuse

[Shloub]

Bonsoir,

U0 = 1
U1 = 1+2+1 = 4
U2 = 4+4+1 = 9

[Attention erreur, voir la suite du sujet.]

Ca me fait penser à la suite des carrés des entiers naturels.

Testons pour voir : U(n+1) = Un +2n + 1
Avec U(n) = n² : (n+1)² = n² + 2n +1 Cohérent.

Seulement, U0 = 1.

Essayons avec U(n) = n²+k (k entier)

(n+1)² + k = n² + k + 2n +1, ça respecte aussi la formule de récurrence.

donc 0² + k = 1 => k = 1 => U(n) = n² + 1 (j'ai fait un peu plus que conjecturer)

n² + 1 ≥ 10^6 <=> n² ≥ 10^6 - 1 <=> n ≥ 10^3 = 1000 (n naturel).

[Zauctore]

salut

u_0 = 1 et u_{n+1} = u_n + 2n + 1

donne les premiers termes

u_0 = 1 ; u_1 = 2 ; u_2 = 5 ; u_3 = 10 ; u_4 = 17 ; etc.

ce qui est plus cohérent avec u_n = n² + 1 donné par shloub.

[Shloub]

Effectivement, j'ai décalé mon n, pardon.

[heyyou]

Bonjour à vous, Shloub et Zauctore.

Donc enfaite on a Un = n² + 1 , ça va j'ai bien compris pourquoi.
Et donc après : Un ≥ 10^6 revient à :
n² + 1 ≥ 10^6
n² ≥ 10^6 - 1
n ≥ 10^3 donc n ≥ 1000

Merci à vous deux !

[heyyou]

Re bonjour, j'ai un soucis avec la question 3) ...
Il faut démontrer que la suite (Un) est croissante.
Or j'ai fait :

Un+1 - Un = (n+1)² + 1 - n² + 1
// = n² + 2n + 1 + 1 - n² + 1
// = 2n + 3

Et je peux malheureusement rien en conclure ...
Mais je sais qu'elle est croissante j'ai tracé le graphique.

[mathtous]

Bonjour,
Ne serait-ce pas : Un+1 - Un = (n+1)² + 1 - (n² + 1) ?
Revois dès le début : $U_{n+1}$ = $U_n$ + 2n + 1 dit l'énoncé.

[heyyou]

Bonjour Mathtous,
Je me suis trompée ça donne donc :

Un+1 - Un = 2n +1

Mais je ne peux toujours pas conclure ...

Si je prend Un+1 = Un + 2n + 1
J'ai donc Un+1 = (n² + 1) + 2n + 1 = n² + 2n + 2

Alors : Un+1 - Un = n² + 2n + 2 - (n² + 1)
// = 2n + 1

Et j'arrive toujours au même résultat...

[mathtous]

Un+1 - Un = 2n +1 , oui , et quel est le
signede cela ?

[heyyou]

Oups autant pour moi, je viens de comprendre mon erreur.. Plutôt idiote :rolling_eyes: (J'étais buté sur l'idée de |N = Entier relatif mais non... LOL)

Merci pour ton aide !

On a donc : 2n + 1 ≥ 0
Puisque 2n ≥ 0 et 1 ≥ 0

Donc la suite est croissante !

[mathtous]

Il y a mieux : le fait de retrouver $U_{n+1}$ - $U_n$ = 2n+1 à partir de $U_n$ = n²+1 prouve que cette expression est correcte ( ce qui avait été conjecturé ).