Etudier une fonction comprenant des exponentielles

Bonjour,
j'ai un exercice sur les exponentielle sur lequelle je bloque,

Soit f(x)= xe^-x definit sur [0,+inf[
1.a Déterminer la limite de f en +inf?
b Etudier les variations de f et dresser son tableau de variation
2.a Montrer que pour tout réel m de ]1,(1/e)[ l'équation f(x) = m admet 2 solutions
b Dans le cas ou m= 1/4 on nomme a et b les soltuions (avec a plus petit que b)
Déterminer un encadrement d'amplitude 10^-2 de a
c Résoudre l'équation f(x) = m dans les cas ou m=0 et m=1/e

1.a lim en +inf de f(x) = 0
b. On calcul la derivée de de f(x)
J'ai trouvé f'(x) = e^-x(1-x) je sais que la dérivée est positive mais je ne sais pas comment l'expliquer on en deduit donc que la fonction est croissante.
2. a Je ne sais pas comment m'y prendre, peut-on utiliser le théorème de la bijection?

Merci

Bonjour,
f'(x) = $1-x)e^{-x}$ n'est pas toujours positive.
$e^{-x}$ , oui , mais tu oublies le multiplicateur (1-x)

elle est négative pour x supérieur a 1 mais pourtant f(x) est strictement croissante non?

La dérivée est positive pour 0 ≤ x ≤ 1 , et négative si x ≥ 1.
Donc f est croissante sur [0 ; 1] et décroissante sur [1 ; +∞[
Qu'est-ce qui te fait croire que f est strictement croissante partout ?
Autre chose , pour la question 2 : vérifie ton intervalle : ne serait-ce pas plutôt ]0 ; 1/e ] ?

Merci
oups oui erreur très bete de ma part en plus comme la limite en plus inf est 0 logique que ça décroit.
Oui vous avez raison l'intervalle est ]0,1/e[ !!

En observant le tableau de variation, on a la réponse à la question 2a

D'après le tableau,
f(1)= e^-1= 1/e
lim f(x) en 0 = 0

les deux solutions sont donc 0 et 1/e?

Non,
il s'agit de l'équation f(x) = m où m ne vaut pas forcément 0 ou 1/e:
m est
compris entre0 et 1/e
Tu dois prouver que cette équation admet 2 solutions ,
2 exactement si 0 < m < 1/e.
Trace la représentation graphique de f ( même approximative ).
Trace la droite d'équation y = m.
Tu ne vois pas les deux solutions ?

Merci,
oui je vois les deux solution mais comment le démontrer?

Sur l'intervalle ]0 ; 1[ :
f est strictement croissante et continue. Donc ( théorème ), la restriction de f de ]0 ; 1[ sur ]0 ; 1/e[ est une bijection ( uniquement entre ces intervalles-là, c'est pourquoi je parle de "restriction" ).
Par conséquent , si m appartient à ]0 ; 1/e[, il possède un antécédent unique dans ]0 ; 1[.
Raisonnement analogue pour l'intervalle ]1 ; +∞[.

OK donc on utilise le théorème de la bijection dans les 2intervalles.
Quelle démarche faut-il suivre pour trouver lencadrement?
Merci

Comment dois je faire pour l'encadrement?

Pour le 2 b,
Calcule f(0.3) et f(0.4) : qu'en résulte-t-il ?

on en déduit que 0.22≤ a ≤0.27 ?

Non : tu confonds a et m ( x et f(x) ).
On sait que m = 1/4 , m = 0.25
Donc on sait que 0.22 < m < 0.27
Or , f(0.3) ≈ 0.22 et f(0.4) ≈ 0.27
On en déduit, puisque f est croissante sur ]0 ; 1[ que : 0.3 < a < 0.4
C'est un encadrement de a à $10^{-1}$ .
Cherche de même, à partir de là, un encadrement de a à $10^{-2}$ .

je comprend plus rien.
Bon alors pourquoi pas resoudre f(x)=0.22 et f(x)=0.27 ?
Pr avoir un resultat a 10^-2

C'est f(x) = 0.25 que l'on veut résoudre dans l'intervalle ]0 ; 1[.
Si on pense que la racine est 0.3 ( a = 0.3 ) , on calcule f(0.3) et on espère trouver 0.25 . Mais on trouve 0.22 : trop petit.
Donc on essaie f(0.4) : on trouve 0.27 : trop grand.
Donc la bonne valeur est comprise entre 0.3 et 0.4.
Comprends-tu déjà cela ?

oui!

On a donc un encadrement de a à $10^{-1}$ près.
On sait maintenant que 0.3 < a < 0.4
Si on veut mieux ( un encadrement à $10^{-2}$ ), on va chercher quel peut être le chiffre des centièmes de a.
On va donc calculer :
f(0.31) , f(0.32) , f(0.33) , ... , f(0.39) .
Mais peut-être qu'il ne sera pas utile de faire tois ces calculs .
Regarde.

ok j'ai compris
d'après la courbe qe l'on a tracé la droite m coupe la courbe vers 0.36

f(0.35)= 0.247
f(0.36)=0.256

Donc <0.35 < a < 0.36
Attention : n'écris pas "=" pour des valeurs approchées , mais "≈" :
f(0.35) ≈ 0.247, donne
3chiffres décimaux pour être sûr des
deuxpremiers.

Euh pour la derniere question
f(x) = 0 pour x=0
f(x) = 1/e pour x=1
il y a une autre soltution mais je n'arive pas a la trouver..

Je ne vois pas d'autre solution, ni pour l'une ni pour l'autre.
Il suffit de regarder le tableau :
f(x) ≥ 0 , l'égalité n'ayant lieu que pour x = 0.
Et f(x) ≤ 1/e, l'égalité n'ayant lieu que pour x = 1.

Merci beaucoup !!

De rien.
A+