Problème de dénombrement

Salut tout le monde, voilà j'ai eu un petit problème en essayant de résoudre un problème en dénombrement et je voudrai votre aide.
Le problème et le suivant:
On a 4 boules et 4 boites. On distribue les 4 boules sur les 4 boites. Chaque boite peut contenir de 0 à 4 boules.
1). Combien y a-t-il de distribution en total ?
2). Combien y a-t-il de distribution tel que toutes les boites soient remplis ?
3). Combien y a-t-il de distribution tel qu'une boite reste vide ?
4). Combien y a-t-il de distribution tel que 2 boites reste vide ?
5). Combien y a-t-il de distribution tel que 3 boites reste vide ?

Premières réflexions:
L'espace de probabilités est de: n0+n1+n2+n3=256 distributions, le nombre de distribution tel que chaque boite soit remplie est: n0=4! , le nombre de distribution tel que 3 boites restent vide est: n3=4.
Çà nous laisse un espace de: 256-n0-n3 = 228 = n1+n2 ( n1 est le nombre de distribution tel que une boite reste vide, n2 est le nombre de distribution tel que 2 boite reste vide ).
je voudrais bien que vous me fassiez part de vos suggestions.
Merci de bien vouloir me répondre le plutôt possible.

Bonjour,
les boules sont-elles différenciables ( numérotées , ou de couleurs différentes , ..) ou bien toutes identiques ( indiscernables ) ?

Les boules sont indiscernables

J'imagine que les boîtes ne le sont pas non plus.
Dans ce cas , il y a beaucoup moins de distributions possibles :
0 0 0 4
0 0 1 3
0 0 2 2
0 1 1 2
1 1 1 1

Mais on peu avoir d'autres distributions:
0 0 4 0
0 4 0 0
4 0 0 0
0 1 0 3
.
.
.
et d'autres

Ca dépend.
Si les boîtes sont indiscernables, les distributions
0 0 4 0
0 4 0 0
4 0 0 0
0 0 0 4
sont identiques : 3 boîtes vides et une contenant les 4 boules.
Si par contre les boîtes sont identifiables ( par exemple numérotées ) , les distributions ci-dessus sont différentes.
Il faut être sûr de ce que dit l'énoncé à ce sujet.

J'ai trouvé que l'énoncé du problème dit que les 4 boules sont indiscernables mais les boites sont identifiables.

Par conséquent, les distributions
0 0 0 4
0 0 4 0
0 4 0 0
4 0 0 0
sont différentes.
On doit pouvoir dresser la liste des autres possibilités. Ainsi, 2 boîtes vides et les deux autres avec 2 boules donne :
2 2 0 0
2 0 2 0
2 0 0 2
0 2 2 0
0 2 0 2
0 0 2 2
Etc ..