Problème de dénombrement


  • D

    Salut tout le monde, voilà j'ai eu un petit problème en essayant de résoudre un problème en dénombrement et je voudrai votre aide.
    Le problème et le suivant:
    On a 4 boules et 4 boites. On distribue les 4 boules sur les 4 boites. Chaque boite peut contenir de 0 à 4 boules.
    1). Combien y a-t-il de distribution en total ?
    2). Combien y a-t-il de distribution tel que toutes les boites soient remplis ?
    3). Combien y a-t-il de distribution tel qu'une boite reste vide ?
    4). Combien y a-t-il de distribution tel que 2 boites reste vide ?
    5). Combien y a-t-il de distribution tel que 3 boites reste vide ?

    Premières réflexions:
    L'espace de probabilités est de: n0+n1+n2+n3=256 distributions, le nombre de distribution tel que chaque boite soit remplie est: n0=4! , le nombre de distribution tel que 3 boites restent vide est: n3=4.
    Çà nous laisse un espace de: 256-n0-n3 = 228 = n1+n2 ( n1 est le nombre de distribution tel que une boite reste vide, n2 est le nombre de distribution tel que 2 boite reste vide ).
    je voudrais bien que vous me fassiez part de vos suggestions.
    Merci de bien vouloir me répondre le plutôt possible.


  • M

    Bonjour,
    les boules sont-elles différenciables ( numérotées , ou de couleurs différentes , ..) ou bien toutes identiques ( indiscernables ) ?


  • D

    Les boules sont indiscernables


  • M

    J'imagine que les boîtes ne le sont pas non plus.
    Dans ce cas , il y a beaucoup moins de distributions possibles :
    0 0 0 4
    0 0 1 3
    0 0 2 2
    0 1 1 2
    1 1 1 1


  • D

    Mais on peu avoir d'autres distributions:
    0 0 4 0
    0 4 0 0
    4 0 0 0
    0 1 0 3
    .
    .
    .
    et d'autres


  • M

    Ca dépend.
    Si les boîtes sont indiscernables, les distributions
    0 0 4 0
    0 4 0 0
    4 0 0 0
    0 0 0 4
    sont identiques : 3 boîtes vides et une contenant les 4 boules.
    Si par contre les boîtes sont identifiables ( par exemple numérotées ) , les distributions ci-dessus sont différentes.
    Il faut être sûr de ce que dit l'énoncé à ce sujet.


  • D

    J'ai trouvé que l'énoncé du problème dit que les 4 boules sont indiscernables mais les boites sont identifiables.


  • M

    Par conséquent, les distributions
    0 0 0 4
    0 0 4 0
    0 4 0 0
    4 0 0 0
    sont différentes.
    On doit pouvoir dresser la liste des autres possibilités. Ainsi, 2 boîtes vides et les deux autres avec 2 boules donne :
    2 2 0 0
    2 0 2 0
    2 0 0 2
    0 2 2 0
    0 2 0 2
    0 0 2 2
    Etc ..


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