Exercice de maths sur les suites

Et bien voilà un exercice qui me pose extrêmement problème, car je n'ai absolument pas compris ce chapitre, ou du moins presque rien. Du coup, ça bloque tout. Alors si quelqu'un est calé à ce sujet et s'il peut m'aider, ça serait super. icon_smile Je vous donne l'énoncé:

La suite (Un) est définie pour tout naturel n , par Un= (√n+1) - (√n)

a) Calculez U1 jusqu'à U6. Que conjecturez-vous pour le sens de variation de (Un)?
Pour cette question j'ai effectué les calculs, et j'ai conjecturé que la suite (Un) était décroissante.

b) Calculez U100, U10000 et U100000. Quelle conjecture pouvez-vous faire sur la limite de (Un).
Là aussi, j'ai calculé U100 ..., mais je ne vois pas quoi dire sur la limite de (Un) ?

2)Étudions le sens de variation. On va démontrer que U(n+1) < Un , pour tout n.

a) Vérifiez que cela revient à prouver que pour tout n, (√n+2)+(√n) < 2x(√n+1) [1]
J'ai réussi à démontrer cela, mais c'est à la question suivante que je commence à être perdue.

b) Prouvez, en justifiant chaque étape, que [1] équivaut successivement à:

[(√n+2)+(√n)]² < [2x(√n+1)]² [2]
(n+1) + [√n(n+2)] < 2x(n+1) [3]
n(n+2) < (n+1)² [4]

c) Prouvez que [4] est vraie pour tout n. Concluez.

La conjecture est que lim (Un) = O quand n tend vers +oo. (Un) est la différence de deux termes qui tendent vers +oo. Ici, une méthode, en présence des radicaux, consiste à multiplier et à diviser par (√n+1) + (√n), expression conjuguée de (√n+1) - (√n)

a) Démontrez que pour tout n, Un= 1 / [(√n+1)+(√n)]

b) Déduisez-en que pour tout n ≥ 1, Un ≤ 1 / (2√n)

c) Pourquoi peut-on écrire que pour tout n ≥ 1, O ≤ Un ≤ 1 / (2√n) ?

d) Quel théorème permet alors de conclure que lim(Un) = 0 quand n tend vers +oo?

Voilà. merci de votre aide

Bonjour,
As-tu effectué les calculs de u1, u2 ,... ?
Que conjectures-tu ?

J'ai essayé, le problème c'est qu'avec les racines carrées, c'est un peu délicat ^^ Et le deuxième problème, c'est que le terme conjecturer ne me dit rien

u1 = √2 - √1 = √2 - 1 ≈ 0,41
u2 = √3 - √2 ≈ 0,32
Continue.
"conjecturer" signifie penser qu'un résultat peut être vrai.
Par exemple, si je vois que les $u_n$ diminuent, je peux conjecturer que le suite $u_n$ ) est décroissante.

Très bien je vois à présent. Donc pour le reste je trouve toujours des résultats plus petits, donc j'en conclut que que la suite (Un) est décroissante.

exact ?

Ho .. maintenant pour calculer u100 et u 10 000, pourrais-tu m'aider, il y a bien une formule qui permet de faire ce calcul?

Tu ne peux pas
conclureque la suite est décroissante : seulement le conjecturer. Pour conclure, il faudra le démontrer.
Pour les termes suivants : c'est comme les autres !
U100 = √101 - √100 ≈ 10,049... - 10 ≈ 0,05
Tu utilises la touche racine carrée de ta calculatrice ( ou celle du forum, à droite ).

Ha mais oui! Je suis un peu étourdie ^^

D'accord, donc ça c'est fait! Alors par contre, la question 2.. avec l'inéquation et ses racines carrées et ses n .. je suis perdue :frowning2:
Il faut croire que c'est surtout les √ qui me mettent mal ... =/

Pour la 2, commence par calculer $U_{n+1}$ - $U_n$

Donc essayons : ça donne Un+1 - Un= [√(n+1)+1 - √(n+1)] - (√n+1 - √n)

Et après je ne vois plus rien

Après, tu supprimes les crochets et tu regroupes ce qui peut l'être.
Attention : tes petites parenthèses sont parfois mal placées :
Un+1 - Un= [√(n+1+1) - √(n+1)] - [√(n+1) - √n]

Oui les parenthèses mal placées ça change tout aussi .. Donc on doit arriver au résultat √n+2 + √n < 2√n+1 [1]

En effectuant le calcul on arrive à : [√(n+2) - √(n+1)] - [√(n+1)-√n] = [√(n+2) - 2√(n+1) - √n . Et comme à la base on cherchait à prouver [1], on a: √(n+2) + √n < 2√(n+1)

Ma démarche est-elle bonne? :rolling_eyes:

Ne pars pas de ce que tu souhaites, mais de ce que tu sais.
Un+1 - Un = √(n+2) - 2√(n+1) + √n
Donc Un+1 < Un <=> √(n+2) + √n < 2√(n+1)
Si on parvient à démontrer cette dernière inégalité, on aura la première.
Tu peux te laisser guider par l'énoncé qui te mâche le travail.
Je vais devoir me déconnecter.
Si personne d'autre ne t'aide, à plus tard.

D'accord, et bien merci pour ton aide, ça m'a bien servie, je vais essayer de me débrouiller seule pour la fin, mais si jamais j'ai des problèmes, je reposte un message ici et j'espère que tu seras là plus tard.
Bonne soirée