fonction logarithme et puissance

*BONJOUR ,

je suis en term S et j'ai des soucis avec ce TD dont l'objectif est de démontrer que en +∞ toute puissance de x l'emporte sur ln x*

I)

on considère la fonction f défini sur ]0,+∞[ par f(x)= √x - ln x

a) étudier les variations de f. En déduire lnx < √x

j'ai cherché f' : f'(x) = -1/x + 1/(2√x) = (-2 + √x)/2x

donc f'(x) < 0 avec 0 < x < 4 donc f' est croissante sur ]4,+∞[ et décroissante sur ]0,4[.

f' présente un minimumn 4

pas franchement clair et sur de moi???

b) en utilisant les théorèmes de comparaison en déduire que lim ln x/x = 0 avec x tend vers +∞

f est positive ou nulle sur ]0,+∞[ on en déduit que ln x < √x et donc si x > 1 ln x/x < √x/x = 1/√x

sur ]1,+∞[ on a 0 < ln x/x on en déduit que lim ln x/x = 0 quand x tend vers +∞ car lim 1/√x = 0 quand x tend vers +∞

en déduire que pour tout entier n non nul, lim ln x/x^n=0

c'est logique^^

en effectuant le changement de variable X =1/x démontrer que pour tout n > 1 on a lim x^n lnx =0 quand x tend vers0

je coince

II)

µ >0
Démontrer que lnx/x^µ=(1/µ) *(lnx^µ)/x^µ et limx^µ =+∞

A un mois du bac je suis largué pour les démonstrations merci pour votre aide.

en effectuant le changement de variable X=x^µ démontrer que lim ln x/x^µ = 0

En déduire que lim x^µ ln x = 0 quand x tend vers 0

III)
f(x) = x^3/2 - ln x -x
montrer que sur ]0,+∞[

f(x) = x^3/2 (1 - (ln x/x^3/2) - (1/√x))

en déduire la lim f(x) en +∞

déterminer la lim x ln x/e^x en +∞

Merci beaucoup de m'aider car je ne suis pas fort en démonstration et dans mes cours il n'y a rien qui y ressemble. On fait souvent les TD avant les cours....je ne trouve pas ça trés logique.

Bonjour,

dérivée juste et f(x) > 0 tout le début est juste. Pour conclure :

si x >1 , alors on a : 0 < ln(x) / x < 1/√x et avec le théorème des comparaisons :

limite à l'infini de (1/√x) = 0 donc limite de ( ln(x) / x ) = 0

Zorro
Bonjour,

dérivée juste et f(x) > 0 tout le début est juste. Pour conclure :

si x >1 , alors on a : 0 < ln(x) / x < 1/√x et avec le théorème des comparaisons :

limite à l'infini de (1/√x) = 0 donc limite de ( ln(x) / x ) = 0

merci , Zorro.

j'ai finit le I) et II)

mais j'aurai besoin de tes lumières pour le III)

l'application n'est pas évidente.

Alors tu arrives quand même à passer de

$f(x),=,x32,−,ln(x),−,xf(x),=,\frac{x^3}{2},-, ln(x),-,x$
à
$,−,x,x3,2)f(x),=,\frac{x^3}{2},(1,-,\frac{ln(x)}{,\frac{,x^3,}{2},} \ ,-,\frac{x}{\frac{,x^3,}{2}})$

tu arranges tout cela et tu vas trouver comment appliquer les limites obtenues dans I et II