Etude de signe et de variation d'une fonction racine carrée

fonction racine carré f(x)=racine x

Expliquer pourquoi :
a)la fonction f est définie pour x appartient [0; + ∞ [
b)f(x)≥ 0 pour tout x
2.Etude du sens de varation
Soient a et b deux nombres tels que 0 ≤ a≤ b
a) montrer que , quels que soient les nombre a et b ,
√ b - √ a = b-a / √b + √ a
b) en deduire en etudiant le signe √ b - √ a que si a ≤ b, alors √ a ≤ √ b
c) que peut on dire pour la fonction f(x) = √ x

J'ai essayé de commencer le 2 avec les identités mais je n'arrive pas
Pourriez vous m'aider s'il vous plait ?
Merci beaucoup

Bonjour,
1)a) f(x) est définie sur [0 ; +∞ [ , ( et pas [0 ; +∞] )

2)a) Calcule ( √b - √a ).( √b + √a ) ( identités remarquables )

Oui je me suis trompé je vais rectifié Peux tu m'aider pour le 1a) et b)

a) et b)
Quelle est la définition précise d'une racine carrée ( donne celle de ton cours )

alors
la fonction carré definie par R associe a tout nombre x sont carré x² mais c'est pour la fonction autrement une racine carré est toujours positive

Tu ne réponds pas à ma question : je t'ai demandé la définition d'une
racinecarrée, pas de la fonction carré.

La racine carrée d’un nombre réel positif x est le nombre positif dont le carré vaut x

Exactement.
Tu as donc les réponses aux questions 1)a) et b) :
Le nombre réel x doit être positif (ou nul) , donc il appartient à l'intervalle [0 ; +∞[
Et la racine carrée de x est également positive : f(x) ≥ 0, pour tout x ≥ 0.

Daccord maintenant je te donne les calculs pour l'identité remarquable tu peux me dire si c'est sa pour le 2A

√b - √a = (√b-√a)(√b+√a) / (√b+√a)
= (b-a) / (√b +√a)

Oui, c'est juste.

merci et je doit mettre que sa pour le 2A ou justifier encore avec un nombre quelconque ?

pour le 2B j'ai mis :
on deduit de l'égalité précedente a et b > 0
√b - √a est du méme signe que (b-a)
c'est juste ?

Je ne comprends pas bien ton "nombre quelconque".
L'égalité est vraie pour
tousles nombres a et b positifs ou nuls.
Tu n'as donc pas besoin de la vérifier avec un nombre "particulier".
Par contre, si tu veux justifier, tu dois dire que tu multiplies et divises (√b -√a) par (√b + √a), puis que tu utilises une identité remarquable :
(√b -√a).(√b + √a) = (√b)² - (√a)² ,
et enfin que (√b)² = b et (√a)² = a.

daccord et je vous ai mis ce que j'ai fait pour le 2b juste avant vous pourriez me dire si c'est juste svp ?
merci en tous cas

Pour le 2)b) c'est juste si tu justifies :
On a : √b - √a = (a-b)/(√b +√a)
Or, le dénominateur (√b +√a) est positif car les deux racines carrées le sont ( on a la somme de deux nombres positifs ).
Donc le quotient est du même signe que son numérateur.

Mais
attention: a et b sont positifs car on prend leurs racines carrées, et non pas à cause de l'égalité précédente.

Donc pour résumer
a et b > 0 car on prend les racines carrées
√b-√a est du méme signe que (b-a)
car √b - √a = (a-b)/(√b +√a)
Or, le dénominateur (√b +√a) est positif car les deux racines carrées le sont ( on a la somme de deux nombres positifs ).
Donc le quotient est du même signe que son numérateur.

C'est juste ? pour le 2B ?
Et pour la 2c comment je fais ?

Pour le 2c , tu utilises le résultat :
Citation
si a ≤ b, alors √ a ≤ √ b
et la définition d'une fonction croissante.

Sur la suite de mon exercice j'ai un tableau de valeur à remplir :
x 0 0.5 1 2 4 9 16
√x 0 0.70 1 1.4 2 3 4

Après ils me disent : utiliser les valeurs du tableau pour tracer la courbe de la fonction racine carrée et tracer dans le méme repére la courbe de la fonction carré. Que remarque t'on ?

Je ne comprend pas ce que je dois tracé !

C'est simple :
Tu places sur ton graphique les points (0 ; 0), (0.5 ; 0.701) , (1 ; 1 ) etc... , et tu relies ces points par une "belle" ligne courbe ( pas une droite : les poins ne sont pas alignés ) : c'est la représentation de la fonction racine carrée.
Puis tu places les points correspondants cette fois à un tableau pour x et x² ( la fonction carré), sur le même repère : tu as une autre courbe.

daccord je comprend je le ferai ce soir car je ne suis pas chez moi cett aprem merci encore !!

De rien.
A+

Désolé mais j'ai tracé mes courbes sur le graphique mais je ne sais pas quoi mettre quand sa dit que remarque t-on ?

a part que ce n'est pas les mêmes courbes

Attention : pour comparer il faut ne tracer la courbe "carré" que sur l'intervalle [0 ; +∞[.
Les deux courbes ont deux points communs : quelles sont leurs coordonnées ?

Oui biensur c'est ce que j'ai fait , les coordonnées des deux droites sont
[0 ; +∞[

Les coordonnées de deux droites ça n'existe pas !
Relis ce que tu écris.
Je te demande les coordonnées
des points d'intersectiondes deux courbes ( qui ne sont pas des droites ).

Je ne comprend pas , les points d'intersection sont [0;0] et [1;1] c'est juste ?

Oui.
Trace la droite passant par ces deux points.
Ne remarques-tu rien concernant les deux courbes ?

Ca pourra aider...

Elle sont symétriques .

Elles sont symétriques
par rapport à la droiteque je t'ai demandé de tracer.
"Symétriques" tout court ne veut rien dire.
Fais l'effort d'écrire des phrases complètes : beaucoup d'incompréhensions viennent de cette négligence ...

Elles sont donc bien symétriques .

Daccord , elles sont symétriques par rapport à un axe donc la droite que j'ai tracé en pointillé sur mon graphique

Oui : la droite passant par le point de coordonnées (0 ;0 ) et le point de coordonnées (1 ; 1).
Tu dois connaître le nom de ces courbes ?

Je ne sais pas non , je suis en seconde donc je n'ai peut-étre pas encore appris .

Si , pour la représentation graphique de la fonction carré : ce sont des paraboles.
Mais ici, seulement des moitiés de paraboles.

Ah oui exact ! Merci , vous êtes professeurs de mathématiques ?

Je le fus, il y a très très longtemps ...

Daccord , et bien en tous cas vous m'avez bien aidé et c'est gentil de votre part car je ne savais vraiment pas quoi faire, un deuxième exercice m'attend sur les statistiques

Oui, mais les stats ce n'est pas des Maths.

Pourtant je suis entrain d'y voir en mathématiques en ce moment