résolution intégrale

Bonjour,

A mon examen j'ai eu à résoudre trois intégrales et impossible à faire !

Je commence à partir dans pleind e différentes direction et impossible d'arriver à quelque chose concret...

Voici les intégrales :

n° 1.
$∫4x−8x4+4x2dx\int \frac{4x - 8}{x^4 + 4x^2} \text{d}x$

n°2.
$∫e2xcos⁡2xdx\int \text{e}^{2x} \cos^2 x \text{d}x$

n°3.
$∫sin⁡3x5+4sin⁡x+cos⁡2xdx\int \frac{\sin^3x}{5 + 4\sin x + \cos^2 x}\text{d}x$

Pourriez-vous m'aider à les résoudre ?

Merci infiniment !!

Bonjour,

Pour la première intégrale, il s'agit d'intégrer une fraction rationnelle,
tu dois d'abord décomposer la fraction en éléments simples avant de pouvoir intégrer.
Pour plus de détails sur la décomposition en éléments simples tu peux consulter http://fr.wikip...ents_simples.

Pour la seconde intégrale, commence par linéariser le cosinus carré :
cos^2(x)=(1+cos(2x))/2 (sauf erreur de ma part)
et deux intégrations par partie successives pour calculer l'intégrale de exp(2x)*cos(2x)/2 devraient te conduire au résultat.

Pour la troisième intégrale, a mon avis, il faut trouver un "bon" changement de variable, qui ramènerait le problème à une intégrale de fraction rationnelle.
Pour trouver des "bons" changements de variable, tu peux essayer les règles de Bioche : http://fr.wikip...es_de_Bioche.
Ou alors tu peux aussi tenter le changement de variable "tangente de l'arc moitiè" : t=tan(x/2) . Voir http://fr.wikip...C3.A9_.C2.BB
pour plus de détails.
Ensuite, quand tu a obtenu une fraction rationnelle, même chose que pour la première intégrale : décomposition en éléments simples avant d'intégrer.

Merci beaucoup pour ta réponse, je vais tenter tes conseils.

EDIT: j'ai essayé tes méthodes mais je n'ai réussi à trouver que la première avec la décomposition en fractions simples.

Pour la deuxieme après avoir remplacé le cos²x par (1+cos2x)/2 et effectué la méthode par "partie" je tourne en rond étant donné que le cos me donne un sin et aisni de suite...
Cela ne s"arrête jamais.

Pour finir, la troisième. Là je sais même pas commencé je n'arrive pas à trouver quelque chose de valable pour continuer en décomposition en fraction simple.

personne ne saurait m'aider pour les deux derniers ? avec une solution si possible.

Merci

Pour la deuxième,

on veut calculer J=∫exp(2x)cos^2(x)dx

en utilisant cos²x=(1+cos2x)/2

on a J=∫exp(2x)(1+cos2x)/2 dx=∫exp(2x)/2 dx + ∫ exp(2x)*cos(2x)/2 dx

J=[exp(2x)/4]+∫ exp(2x)*cos(2x)/2 dx

On pose I=∫ exp(2x)*cos(2x)/2 dx

On fait une première Intégration par parties :
I=[exp(2x)/2 * cos(2x)/2]+∫exp(2x)/2 * sin(2x) dx

Puis une seconde :
I=[exp(2x)/2 * cos(2x)/2]+[exp(2x)/4 * sin(2x)]-∫exp(2x)/4 * 2*cos(2x) dx

=(1/4)[exp(2x) * cos(2x)]+(1/4)[exp(2x) * sin(2x)]-∫exp(2x)*cos(2x)/2 dx

donc I=(1/4)[(exp(2x)(cos(2x)+sin(2x))]-I

2I=(1/4)[(exp(2x)(cos(2x)+sin(2x))]

I=(1/8)[(exp(2x)(cos(2x)+sin(2x))]

J=[exp(2x)/4]+(1/8)[(exp(2x)(cos(2x)+sin(2x))]

(sauf erreur de ma part)

Salut gaston,

Je suis d'accord pour la deuxième.
Pour la dernière, a priori seul le changement de variable en tan(x/2) fonctionne (selon les règles de Bioche), pour l'utiliser tu peux exprimer les cosinus et sinus en fonction de tan(x/2) grâce aux formules trigo que tu trouveras ici :formules de trigonométrie dans le III, puis tu pourras faire le changement de variable, tu vas tomber sur une fraction rationelle que tu pourras décomposer...
Bon courage !

gaston
Pour la deuxième,

on veut calculer J=∫exp(2x)cos^2(x)dx

en utilisant cos²x=(1+cos2x)/2

on a J=∫exp(2x)(1+cos2x)/2 dx=∫exp(2x)/2 dx + ∫ exp(2x)*cos(2x)/2 dx

J=[exp(2x)/4]+∫ exp(2x)*cos(2x)/2 dx

On pose I=∫ exp(2x)*cos(2x)/2 dx

On fait une première Intégration par parties :
I=[exp(2x)/2 * cos(2x)/2]+∫exp(2x)/2 * sin(2x) dx

Puis une seconde :
I=[exp(2x)/2 * cos(2x)/2]+[exp(2x)/4 * sin(2x)]-∫exp(2x)/4 * 2*cos(2x) dx

=(1/4)[exp(2x) * cos(2x)]+(1/4)[exp(2x) * sin(2x)]-∫exp(2x)*cos(2x)/2 dx

donc I=(1/4)[(exp(2x)(cos(2x)+sin(2x))]-I

2I=(1/4)[(exp(2x)(cos(2x)+sin(2x))]

I=(1/8)[(exp(2x)(cos(2x)+sin(2x))]

J=[exp(2x)/4]+(1/8)[(exp(2x)(cos(2x)+sin(2x))]

(sauf erreur de ma part)

Bonjour,

A propos de la deuxième, c'est une idée courante, lorsque tu a une intégrale avec du cosinus ou du sinus , de faire deux intégrations par partie pour faire réapparaître l'intégrale de départ.

A propos de la troisième, celle là je la trouve vraiment corsée, le changement de variable tangente de l'arc moitié, t=tan(x/2), fait apparaître un polynôme 3t^4+4t^3+4t^2+4t+3 qui ne se laisse pas factoriser "à la main".
J'ai tenté une autre technique: au départ, en utilisant cos^2(x)=1-sin^2(x), on fait facilement apparaître une fraction rationnelle en sin(x),
on peut la décomposer en élément simple avant de chercher l'intégrale.
ça semble marcher, mais les calculs sont lourds.

Je me demande s'il n'y a pas une astuce pour cette troisième intégrale.

voici les resutlats que trouve Maple7:

pour la 1) 2/x + ln(x) - (1/2)ln(x²+4) + arctan((1/2)x)

pour la 2) pareil que zauctore

pour la 3), le resultat est tellement abominable que je ne saurais le taper...(je vais verifier sur Maple9 si je trouve ce resultat peut concevable ou si c'est maple7 qui arrive pas à le résoudre...)