Déterminer pour quelle valeur initiale la suite Un définie par récurrence est constante



  • Bonjour,

    Soit u(indice)n une suie définie pour tout n appartient aux entiers naturels par :
    u(indice)n+1=1/2u(indice)n+1

    Pour quelle valeur de u(indice) 0 la suite u (indice) n est elle constante ????

    Pouvez vous m'aider je galère sur mon DM qui est pour demain



  • Bonjour,

    Personnellement j'ai un peu de mal à comprendre ton énoncé. Il me semble que dans d'autres sujets , tu as utilisé à bon escient les indices :

    Pour écrire plus joliment les énoncés avec des indices, afin de pouvoir faire la différence entre Un+1U_{n+1} et UnU_n + 1 merci de tenir compte de ce qui est expliqué ici.

    Et puis quels sont le numérateur et le dénominateur de la fraction ?

    Pour écrire plus joliment les énoncés avec des symboles mathématiques et des lettres grecques , merci de tenir compte de ce qui est expliqué ici.

    Merci de nous donner envie de t'aider ! 😄



  • Soit (un(u_n) une suite définie pour tot n ∈ N,par:
    uu_{n+1}=(1/2)un=(1/2)u_n+1



  • Alors (Un(U_n) est constante si et seulement si

    U0U_0 = U1U_1 = U2U_2 = ..... etc .....

    Que vas-tu pouvoir écrire pour trouver U0U_0 dans ces conditions ?



  • je vais pouvoir écrire que je dois avoir r=0 pourque (un(u_n) soit constant.



  • Mais personne ne te dit que c'et une suite arithmétique ou géométrique !

    (Un) est constante si et seulement si

    U1U_1 = U0U_0

    Or comment pourrais-tu bien calculer U1U_1 ?



  • je remplace par 1 le n dans l'expression qui m'es donnéeau départ



  • bin oui ! Alors quelle équation obtiens-tu ?



  • j'obtiens u1u_1=3/2



  • ah bon ! tu me dis comment tu as trouvé cela.



  • j'ai remplacé unu_n par 1 dans mon équation du départ.



  • Si tu remplaces n par 1 dans

    un+1u_{n+1} = (1/2) unu_n + 1

    cela donne u1+1u_{1+1} = (1/2) u1u_1 + 1

    soit u2u_2 = (1/2) u1u_1 + 1

    Par contre si tu remplaçais n par 0 que trouverais tu ?



  • quand j'ai uu_2=(1/2)u1=(1/2)u_1+1
    coment je trouve u1u_1?



  • On te demande pas de trouver U1U_1 mais U0U_0 ....

    Donc ton idée de remplacer n par 1 ne te mène nulle part !

    Par contre en remplaçant n par 0 (voir ma réponse de 20h24) que trouves tu ?



  • je trouve -3/2



  • NON

    En remplaçant n par 0 dans un+1u_{n+1} = (1/2)un(1/2)u_n + 1

    tu trouves u0+1u_{0+1} = (1/2)u0(1/2)u_0 + 1

    Ce qui n'a rien à voir avec -3/2



  • U0U_0 je ne le connais pas



  • Non puisqu'on la cherche ! Regarde encore une fois l'énoncé de la question :

    Pour quelle valeur de U0U_0 la suite (Un(U_n) est elle constante ?

    C'est à dire quelle valeur faut-il donner à U0U_0 pour que

    U1U_1 = U0U_0

    Or U1U_1 = quoi ?

    Il faut donc résoudre l'équation : trouver U0U_0 telle que ""quoi"" = U0U_0



  • ok et u1u_1 on l'a déja calculé non ?
    uu_{n+1}=u=u_2=(1/2)u1=(1/2)u_1+1



  • Bon je craque :

    20h43 : U0+1U_{0+1} = (1/2)U0(1/2)U_0 + 1

    donc U1U_1 = (1/2)U0(1/2)U_0 + 1

    or pour que la suite soit constante, il faut que U1U_1 et U0U_0 soient comment ?



  • il faut que u1u_1 et u0u_0 soient égaux



  • Donc que :

    U1U_1 = (1/2)U0(1/2)U_0 + 1 = U0U_0

    Est-ce que cela ne te donne pas une équation qui te permet de calculer U0U_0 ?



  • je ne vois pas comment rendre ça en équation comment faire pour que ce soit plus simplifié



  • Tu ne sais pas trouver U0U_0 qui vérifierait

    (1/2)U0(1/2)U_0 + 1 = U0U_0

    et si on te demandait de trouver x qui vérifierait : (1/2)x + 1 = x

    Tu saurais faire ?



  • je trouve x=2



  • donc en résolvant la même équation avec U0U_0 comme inconnue , tu trouverais quoi pour U0U_0 ?



  • 2 ?



  • Enfin oui ! Tu peux passer à la 2ème question (s'il y en a une ! )



  • okok

    1. Dans toute la suite on supposera que u0u_0=0
      Calculer u1u_1, u2u_2,u3u_3 et u4u_4

    U1U_1=1
    u2u_2=3/2
    u3u_3=7/4
    u4u_4=15/8



  • Pour le moment tout va bien.


 

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