Dm de math sur le produit scalaire

Bonjour pouvez-vous m'aider à faire mon dm de maths parce que je suis totalement perdu merci.
1)Etant donnés trois points A,B et C montrer que pour tout point M:

AM.BC+BM.CA+CM.AB=0 (ce sont des vecteurs)

2)Retrouver à l'aide de cette égalité que les trois hauteurs d'un triangle ABC sont concourantes.
svp et merci

svp

Bonjour,

Le problème c'est de simplifier l'expression AM.BC+BM.CA+CM.AB,
si on regarde les deux premiers termes, leurs seconds facteurs ne demandent qu'à s'emboiter ( BC+CA = BA ), le problème c'est que les premiers facteurs sont différents ( AM et BM ).
Pour avancer, tu peux faire apparaître BM dans le premier facteur du premier terme ( AM = AB+BM ),tu obtiens AM.BC=AB.BC+BM.BC , ce qui te permettra de regrouper BM.BC avec BM.CA .
Ensuite tu recommence de la même façon avec BM.BA et CM.AB .
Tu pose H le point d'intersection de deux des hauteurs.
N'oublie pas que l'orthogonalité s'exprime en terme de produit scalaire et vice versa, alors en te servant de la première question tu devrais t'en sortir.

je trouve AM.BM=(AB+BM).(BM+MC)=AM+AB.MC+BM²+BC
puis BM.CA=(BC+CM).(CM.MA)=BM+BC.MA+CM²+CA
enfin CM.AB=(CA+AM).(AM+MB)=CM+CA.MB+AM²+AB
puis la je bloque

Pourquoi cherches-tu à calculer AM.BM?
Tu veux plutôt dire AM.BC?
Si tu fais AM.BC=(AB+BM).(BM+MC), tu fais apparaître deux M supplémentaires là où il n'y en avait pas (BC = BM+MC), à mon avis c'est pas une bonne idée quand on cherche à simplifier cette expression.
Fais plutôt AM.BC=(AB+BM).BC=AB.BC+BM.BC (en bref, ne modifie pas le BC de droite).

Ensuite ne développe pas BM.CA, au contraire, factorise BM.BC+BM.CA=BM.BA .

Desolé mais je vois vraiment pas.

Qu'est ce que tu ne comprends pas?

J'ai fait :AC+(MC.BC)+BA+(CM.CA)+CB+(AM.AB)=0
comme vous m'avez dit de faire puis je n'arrive pas à réduire

Il faut que tu mettes les parenthèses, je n'arrive pas à te lire.
Peux-tu éditer ton post?

Il y a un problème dans ton expression, tu additionnes des nombres et des vecteurs. Reprenons :

on a AM.BC+BM.CA+CM.AB

on fait AM=AB+BM ce qui donne

AM.BC+BM.CA+CM.AB
=(AB+BM).BC+BM.CA+CM.AB
=AB.BC+BM.BC+BM.CA+CM.AB

on regroupe BM.BC+BM.CA=BM.BA ça donne

AB.BC+BM.BC+BM.CA+CM.AB=AB.BC+BM.BA+CM.AB

en fait pour simplifier l'expression on cherche à faire disparaître les M.

Ensuite, pour simplifier BM.BA+CM.AB, on s'y prend de la même façon que pour AM.BC+BM.CA

comment faites-vous pour regrouper ?
"on regroupe BM.BC+BM.CA=BM.BA "
je n'ai pas très bien saisi cette étape.

En fait, en détaillant :

BM.BC+BM.CA=BM.(BC+CA)
(on factorise par BM qui est à gauche des deux produits scalaires)

Or BC+CA=BA

Donc BM.BC+BM.CA=BM.(BC+CA)=BM.BA

Non je vois vraiment pas du tout
mais en tout cas merci de m'aider

Je suis désolé que tu ne comprennes pas mes explications.
Je ne vois pas comment t'expliquer plus précisément.
Quelle est la définition du produit scalaire dans ton cours?
Et quelles sont ses propriétés?

En fait je n'ai pas eu le temps de rattraper le cours car j'étais malade puis on m'a donné le dm a faire sans cours les seuls cours que j'ai sont ceux d'internet.

Bonjour,
Tu peux choisir un repère orthonormé ( obligé pour parler de produit scalaire ), par exemple : A(0 ; 0), B(1 ; 0 ), $C(x_c$ ; $y_{c }$ ) , et M(x ; y).
Le calcul devient évident.

je n'ai pas le droit de choisir un repère orthonormé

Bon, alors plus simple :
Tu utilises la relation de Chasles, mais pour éviter de tourner en rond, un conseil :
garde les vecteurs où il y a la lettre A ( AB, CA, AM, ... )
décompose ceux où il n'y a pas la lettre A ( BM, CB, ... )
Ainsi : BC = BM + MC .
Développe tes produits scalaires : tu devrais ne trouver que des opposés.

quand je developpe je me retrouve avec des AM,BM,CM EST SA MARCHE PAS

Inutile de crier.
Ca marche si tu décomposes CM et BM en utilisant la lettre A.