Résoudre un problème en utilisant le barycentre

bonjour je suis bloquée pourriez vous m'aider svp?

Soit I milieu du segment [BC]. On appelle G le barycentre des points pondérés (A; -1)(B;2) et (C;2)

A/ calculer le vecteur AG en fonction du vecteur AI
pour celui la j'ai trouvé vecteur AG= 4/3 AI

b/ soit H le symétrique du point A par rapport au point B. Démontrer que les points C, G et H sont alignés.
C'est à cette question que je suis bloquée

merci d'avance pour votre aide

(1) on pose BI=1/2.BC
(2) -GA+2.GB+2GC=0 (sous forme vectorielle)

de (1) (BA+AI)=1/2BA+1/2AC
1/2BA+AI=1/2AC
1/2(BG+GA)+AI=1/2(AG+GC)
1/2(BG-GC)+AI=AG
1/2(-GB-GC)+AI=AG
comme (GB+GC)=AG/2
alors :AG/4+AI=AG
et AG=4/3.AI.

b/ soit H le symétrique du point A par rapport au point B. Démontrer que les points C, G et H sont alignés.

si H est le symetrique de A par rapport à B on peut écrire que
AB=1/2.AH
il s'agit de trouver un reél k tel que CG=k.CH ainsi C,G et H seront alignés.

on peut ecrire que CA+AG=k(CA+AH)
CA(1-k)=-AG+kAH
CA(1-k)=-AG+2kAB
CA(1-k)=2GB+2GC+2k(AG+GB)
CA(1-k)=2GB+2GC+2k(-2GB-2GC+GB)
CA(1-k)=2GB+2GC+2k(-GB-2GC)
CA(1-k)=2GB+2GC-2kGB-4kGC
pour le premier membre CA(1-k)=(CG+GA)(1-k)=(-GC+2GC+2GB)(1-k)=GC+2GB-kGC-2kGB=2GB+2GC-2kGB-4kGC

cela se reduit à GC(1-k)=GC(2-4k) soit

1-k=2-4k et k=1/3 alors CG=1/3.CH

Quand j'ai répondu, la réponse précédente n'était pas encore en ligne à toi de choisir ! Quel luxe !

Démontrons que GC et GH colinéaires.
Il suffit d'ecrire que B est le milieu de [AH] car H sym de A par rapport à B
AH = 2 AB ou AB=1/2.AH
utilisons -GA+2.GB+2GC=0 pour calculer CG
2GC=GA-2.GB=GA-2(GA+AB)=-GA-2AB=-GA-2(1/2)AH=-GA-AH=HA+AG=HG
soit GC=1/2.HG donc colinéaire donc pararllélisme des droites

d'accord merci à vous