Exercice math probabilités et dénombrement

Bonjour ,

Je fais des exercices de terminale S pour justement me remettre au niveau avant la rentrée puisque je passe cette année en TS !!
Seulement je voudrais savoir si l'exercice en question est juste

Donc voici l'énoncé :

Le code antivol d'un autoradio est un nombre de 4 chiffres , chaque chiffre pouvant prendre l'une des dix valeurs 0,1,....,9

(a) Quel est le nombre de codes possibles ?

(b) On note l'événement A :
" le code esr formé de 4 chiffres distincts 2 à 2"
Quelle est la probabilité de A?

(c) On note B l'événement : " le code est formé de 4 chiffres identiques"
Quelle est la probabilité de B ?

(d) Définir par une phrase lévénement A U B . Calculer P(A U B)

Après une coupure d'alimentation électrique, le propriétaire doit réintroduire le code pour pouvoir utiliser son autoradio.

Il sait que les4 chiffres de sont code sont 1 ; 9 ; 9 ; 5 mais il a oublié l'ordre de ces chiffres.

(a) Combien de code différents peut - il composer avec ces 4 chiffres ?
Indication : On pourra s'aiderd'un arbre

(b) Si le premier code est introduit n'est pas bon , le propriétaire doit attendre 2 minutes avant de pouvoir tenter un second essai , le délai d'attente entre le second et le troisième essai est de 4 minutes , entrele troisieme et le quatrième essai il est de 8 minutes ...
Combien de codes le propriétaire peut - il introuire au maximum en 24 heures ?

Donc alors je vous donne maintenant ce que j'ai fait :

1(a) Puisque le cadenas comporte 4 chiffres et un chiffre peut prendre une valeur de 0 à 9 ainsi pour un chiffre il y a 10 possibilité donc pour 4 chiffres il y a 10^4 = 10000 possibilités

b) Donc j'ai trouvé pour l'événement A , 4 solutions : 0 2 4 6
1 3 7 9
2 4 6 8
3 5 7 9

Je n'en ai pas trouvé d'autres solutions est ce que s'est juste ?

Puisque Tous les événements ont la meme probabilité on dit qu'il y a equiprobabilité donc d'après la loi de probabilité
P(A)=Nombre de code réalisant A / Nombre de codes totals = 4 / 10000 = 1/2500

c) Donc pour l'événement B j'ai trouvé 10 possibilités
P(B) = 10/10000 = 1/ 1000

d) A U B = " Le code est formés de soit 4 chiffres identiques ou de 4 chiffres disticts 2 à 2"
Puisque les événements A et B sont incompatibles
P(A U B ) = P(A)+P(B) = 1/2500 + 1/1000 = 12/25002 + 15 / 10005 = 2/5000+5/5000 =7/5000

a) Donc à l'aide d'un arbre j"ai trouvé 12 possibilités qui sont les suivantes :

1 9 9 5
1 5 9 9
1 9 5 9
9 1 9 5
9 5 1 9
9 9 1 5
9 9 5 1
9 5 9 1
9 1 5 9
5 9 9 1
5 9 1 9
5 1 9 9

b) C'est pour cette question que j'ai le plus de problème ... Je trouve approximativement la réponse mais je ne sais pas la justifiée

Donc j'ai trouvée que le propriétaire pouvait fair 11 codes en 24 heures
et j'ai procédée de cette manière :
1 code -> 2 code = 2 minutes
2 -> 3 = 4 minutes
3 -> 4 = 8 minutes
4 -> 5 = 16 min
5 -> 6 = 32 min
6 -> 7 = 64 min
7 -> 8 = 128min
8-> 9 = 256 min
9 -> 10 = 512 min
10 -> 11 = 1024 min
11 -> 12 = 2048 min

Donc étant donné que 24 heures correspondent à 1440min le propriétaire peut composer 11 codes environ

Je pense que ma réponse est soit incorrecte soit non justifiée... Pouvez vous m'aider s'il vous plait ?

Merci d'avance pour vos réponses

Bonjour,

a) juste , Cardinal de l'univers = $10^4$
b) faux : les chiffres ne peuvent pas être identiques entre eux.

pour choisir le premier chiffre on a 10 choix,
quand on a choisi le 1er , on a 9 choix possibles pour trouver le second
quand on a choisi le 1er et le second , on a ??? choix possibles pour trouver le 3ème
quand on a choisi le 1er , le second et le 3ème , on a ??? choix possibles pour trouver le 4ème

Il y a donc ???? codes avec 4 chiffres différents.

c) juste

Je regarde la suite.

Pour le nombre de codes formés avec 1 ; 9 ; 9 et 5 , je trouve aussi 12 choix possibles.

Pour la durée , penser aux suites géométriques :

On suppose qu'il ne fait que des faux codes.

Entre le premier et le second, temps d'attente : $U_1$ = 2 min
Entre le second et le 3ème , temps d'attente : $U_2$ = 4 min = 2 $U_1$ ,
temps pour faire 3 codes : S3 = $U_1$ + $U_2$ = 6min
Entre le 3ème et le 4ème , temps d'attente : $U_3$ = 8 min = 2 $U_2$ ,
temps pour faire 4 codes : S4 = $U_1$ + $U_2$ + $U_3$ = 16min
etc .....
Entre le nème et le n+1ème , temps d'attente : $U_n$ = 2 * $U_{n-1}$ ,

Donc la suite $U_n$ ) qu'on génère est une suite géométrique de 1er terme $U_1$ = 2 min et de raison q = 2

On cherche combien on peut trouver de codes dans le temps $S_n$ = somme des n-1 premiers termes de la suite $U_n$ )

avec $S_n$ étant inférieur ou égal à 24*60 minutes.

Merci beaucoup ! Je vais me plonger sur les erreurs et des que j'aurais fait selon vos conseils , pourriez vous me dire si j'ai bien fait ?

Bonsoir ,
Alors j'ai réfléchie au sujet de la question 1 b )
Pour choisir le 1er chiffre on a 10 choix
on a 9 choix pr le 2eme
8 choix pr le 3 ème et 7 choix pr le quatrième

il y a donc 7 codes possibles avec 4 chiffres différents
est ce que c'est bien ça ?

Cordialement

Il le semble que 10 * 9 * 8 * 7 est différent de 10

il y a 5040 codes possible alors ?

Par contre pr se qui en ait de la dernière question je ne comprend pas ... j'ai fait un truc du genre

1 + 2 + 2² +2³ $2^4$ +... $+ 2$ ^n $1-q^{n+1}$ )/ (1-q)
1+2+4+8+16+... $+ 2$ ^n $1-2^{n+1}$ /(1-2)
31+... $+ 2$ ^n $1-2^{n+1}$ )/(-1)

Mais à partir de la je suis bloqué alors je sais pas si la manière dont je procède est fausse ou si j'ai fait une erreur ...

bne chance

Il faut trouver le plus grand n tel que la somme dont tu parles soit inférieure à 24*60 minutes.

Et puis faire gaffe à ce que tu appelles n ....

Donc je suis bien partie ?
Il suffit de faire le résultats que j'ai la < 1440
et d'isoler le n ?

Tu es sur la bonne voie oui, mais pourquoi commences-tu ta somme avec 1 ? Le premier temps d'attente est 2 min et non 1 min...

Bonjour Kanial !

Je commence par 1 car je pense que la formule est ainsi non?

La formule n'est pas forcément comme ça, mais tu peux t'en sortir en l'appliquant comme ça, si tu retranches 1 de chaque côté (pour éviter de compter un temps que le propriétaire n'a en fait pas à attendre...)

daccord ... je vais essayer