démontrer avec des barycentres



  • bonjour je suis bloquée pourriez-vous m'aider svp?

    Soit ABCD un parallèlogramme.
    Soit I le milieu du segment [CD] et E le symétrique du point A par rapport à B. Les droites (AC) et (IB) se coupent en F. Le but de l'exercice est de montrer que les points D, F, E sont alignés.

    1/ Soit G le barycentre des points pondérés (A;1) (E;1) , (D;2) (C;2)
    a/ démontrer que le point G est l'isobarycentre du triangle BDC.
    b/ En déduire que les points B, G et I sont alignés.

    2/ a. Démontrer que les points A, G et C sont alignés
    B/ en déduire que les points G et F sont confondus
    3/ démontrer que les points D, F et E sont alignés.

    merci d'avance



  • voici un bon début
    partout c'est des vecteurs
    1)a) on cherche à démontrer que GB+GD+GC=0
    Comme on doit partir de ce qui est connu, G barycentre de ….. Il faut donc utiliser l'expression du barycentre en utilisant Chasles "en passant par B"
    GA+GE+2GD+2GC=0
    (GB+BA)+(GB+BE)+2GD+2GC=0
    2GB+2GD+2GC+BA+BE=0
    or E sym de A par rapport B donc B milieu de [AE] donc BA= - BE donc trouvé

    b) il faut montrer que certains vecteurs sont colinéaires. Essayons avec GB et GI
    Puisque i est milieu de [DC] on a GD+GC=2GI
    avec GB+GD+GC=0 on obtient que GD+GC= - GB
    donc – GB = 2 GI donc vecteurs colinéaires donc points alignés



  • 2)a) il faut démontrer que GA et GC sont colinéaires
    on repart de ce qui est connu l'expression du barycentre
    GA+GE+2GD+2GC=0
    donc GA+2GC= - GE – 2GD = (GB+BE) + 2(GI+ID) = GB+BE+BG+2ID puisque BG=2GI
    donc GA+2GC= BE + 2ID = BE + CD puisque I est milieu de [DC]
    Or parallélogramme et symétrie permettent de conclure BE=AB=DC donc BE+CD=0 donc GA+2GC=0 donc GA= - 2GC donc colinéaires donc points alignés

    b) B, G, I alignés donc G appartient à (BI)
    A, G, C alignés donc G appartient à (AC)
    donc G est l'intersection des droites (BI) et (AC) qui est F selon les données du problème.

    et puis la suite doit se ressembler. il faut montrer la colinéarité de vecteurs construits à partir des points D, F et E à toi moi je vais me coucher



  • Il y a plus simple

    1. a)
      G barycentre de (A;1) (E;1), (D;2) (C;2) donc de (B;2), (D;2) (C;2) car B barycentre de (A;1) et (E;1) (car B milieu de [AE]).
      Donc G isobarycentre BDC

    2. b)
      G étant l'isobarycentre de trois points, c'est le centre de gravité du triangle BDC. Or (BI) est une médiane de ce triangle donc G sur (BI) et donc I G B alignés.

    3. a)
      G étant centre de grav de BCD on a, pour tout M du plan (ou de l'espace) MB + MC + MD = 3 MG (en vecteurs)
      C'est vrai pour A :
      AB + AC + AD = 3 AG or AB + AD = AC (ABCD parallélogramme)
      donc 2 AC = 3 AG, d'où A C G alignés

    4. b)
      RAS

    EB + EC + ED = 3EG = 3EF (en vecteurs)
    Comme AB = BE (symétrie) et DC = AB (parallélogramme) alors BE = DC donc BECD parallélogramme.
    Donc EB + EC = ED
    Donc EB + EC + ED = 3EF <=> 2ED = 3 EF donc E F D alignés.



  • j'essai de le refaire mais je ne comprend pas le rasonnement de drobert



  • je ne comprend pas la 2a et la 3 svp aidez moi



  • je cois ke j'ai icompris il ne l'a pas écrit mais à utilisé la propriété fondamantale avec M en A pour la 2 et M en E por la 3


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