Etudier les variations de fonctions ln et comparer

Bonjour,
j'ai fait le début mais il me manque le dernière que je n'arrive pas à traiter pouvez vous m'aider svp?

Enoncé:On se donne 2 réels a et b tel que a < b < 0

montrer que $a^b$ et $b^a$ sont rangés dans le même ordre que lna/a et lnb/b
Soit f: R*+→R Etudier les variations et tracer sa courbe représentative
x→lnx/x
B) En utilisant A
Trouver tous les entiers naturels p et q distincts non nuls tels que $p^q$ = $q^p$
Comparer, pour n N* , √ $n+1)^{√n}$ et √ $n)^{√(n+1)}$
C) on pose a=2,5 ; b=2,970.287.1 . Comparer à la calculette f(a) et f(b)
Et répondre cependant à la question suivante: quel est de $a^b$ et $b^a$ le plus grand nombre ?

Mes réponses:

A1.on a a et b 2 réels tels que 0 < a < b

on a $e^{bln(a)}$ < $e^{aln(b)}$
comme la fonction exp est strictement croissante sur R
lna/a < lnb/b
donc ça conserve l'ordre: on a donc $a^b$ < $b^a$ qui est dans le même ordre lna/a < lnb/b

A.2

f(x)= lnx/x
f'x)= -lnx/x²1/x²
=1/x²(1-lnx)

x | 0 1/e-1 +00

1/x²| || +

1-lnx| || - 0 +

f'(x)| || - 0 +

f(x)| décrois. 0 crois.

B) j'ai trouvé les couples (2;4) et (4;2)
B.2 et C je n'y arrive pas :?
merci d'avance

Intervention de Zorro = ajout d'espaces autour des signes < pour régler un souci d'affichage

Bonjour Bully,

On va prendre par le début :
A) 1) c'est bon, le principe est bon.
Par contre quand tu passes de $e^{bln(a)}$ < $e^{aln(b)}$ à ln(a)/a < ln(b)/b
Tu n'appliques pas réellement la fonction exponentielle mais plutôt la fonction "ln", puisque tu veux faire "disparaître" l'exponentielle. Et ça fonctionne car a et b sont strictement supérieur à 0 (peut-être une étourderie dans la recopie de l'énoncé d'ailleurs ) et ln est positive sur $IR^*$ .
Tu te retrouves avec le même résultat puisque les deux fonctions conservent l'ordre.
D'ailleurs, il te manque juste une étape avant d'arriver à ln(a)/a < ln(b)/b
Peux-tu me réécrire ça de manière plus détaillée ?

A) 2) Je ne comprends pas tout sur ta dérivée et le résultat n'a pas l'air bon non plus ! Peux-tu me réécrire la formule de dérivation de u/v et me réécrire ton résultat au propre (avec des parenthèses si besoin)

Bonne soirée

bonjour Oli,
A1. cette démonstration je l'ai apprise comme ça mais je veux bien essayer de la détailler:
$e^{aln(b)}$ < $e^{bln(a)}$
⇔ $a^b$ < $b^a$
⇔ $ln(a^b$ ) < ln( $b^a$ )
⇔bln(a) < aln(b)
⇔bln(a)/ab < aln(b)/ab
⇔ ln(a)/a < ln(b)/b

A.2 u'/V'= (u.v'-u'.v)/x²
f(x)= lnx/x
f'(x)= (lnx-(1/x)*x)/x²
f'(x)= (lnx-1)/x²
c'est mieux, je crois

Bonjour,

Il y a quand même quelque chose qui me dérange dans cet exo , c'est :

On se donne 2 réels a et b tel que a < b < 0

Et l'énoncé parle de lna !!!!

Si ln est bien ce qu' habituellement on appelle logarithme népérien , alors a ne devrait pas être négatif.

oui en effet je me suis trompée , je suis désolée 0 < a ****

Certes dans la démonstration tu écris : 0 < a < b

Mais comment de 0 < a < b passes-tu à $e^{aln(b)}$ < $e^{bln(a)}$ sans utiliser la conclusion ?

c'est une bonne question,
je pense que c'est que la fonction expo est croissante donc elle concerve l'ordre, non?

Oui mais de a < b on peut conclure que ln(a) < ln(b) car la fonction ln est croissante

ou que $e^a$ < $e^b$ car la fonction expo est croissante

Mais ce que tu as écrit est faux : essaye avec a = 2 et b = 100 .....

j'ai essayer avec a=2 et b=100, je ne vois pas ce qui est faut ?
a < b on peut conclure que ln(a) < ln(b) car la fonction ln est croissante

Pardon essaye avec 2 et 3

a ln(b) = 2 ln(3) ≈ 2,2
b ln(a) = 3 ln(2) ≈ 2,1

de toutes façons e $^{a ln(b)}$ = $b^a$
et e $^{b ln(a)}$ = $a^b$

Donc 3² serait inférieur à 2³ ???

a oui c'est juste, je ne dois donc pas de me servir de la fonction expo?

Surement que si, mais je n'ai pas cherché à résoudre ton exo.

Si j'ai 5 minutes entre 2 autres travaux, je regarderai.

ok c'est gentil, merci

En fait , il faut démontrer que si on choisit 2 réels a et b tels que

0 < a < b
et que
$a^b$ < $b^a$

alors ln(a)/a < ln(b)/b

Et que si

0 < a < b
et que
$a^b$ > $b^a$

alors ln(a)/a > ln(b)/b

On a 2 parties à démontrer

Pour la première on part des hypothèses :
0 < a < b
et
$a^b$ < $b^a$ et on fait la démo que tu as faite à 10h37 en oubliant la première ligne qui n'est pas acquise comme hypothèse.

Pour la deuxième on part des hypothèses :
0 < a < b
et
$a^b$ > $b^a$ et on fait une démo du même genre

ok merci,
en fait c'est la même démonstration sauf il faut que je change les signes ; non?

Oui et n'oublie pas de préciser quelle propriété tu utilises pour passer d'une ligne à la suivante.

Heu, juste une question pour semer le trouble car je suis pas trop sûr moi même...
On traite les cas $a^b$ < $b^a$ , $a^b$ > $b^a$ mais $a^b$ = $b^a$ on ne le traite pas ?

je ne sais pas ... :frowning2:

Je pense que oui (il faut le traiter) en fait. Mais bon, ça devient plus un problème de logique qu'autre chose, en fait
On peut traiter ou bien :

les 3 cas cités ('<', '=' et '>')
les 2 cas suivants : '<=' et '>='
un seul des cas suivants : '<', '>', '<=', '>=' si on fonctionne par équivalences (⇔) mais il faut être "sûr" que chaque ligne est bien équivalente à la précédente (que ça fonctionne dans les 2 sens : ⇒ et ⇐), donc parfois moins évident.
En attendant, démontre les 3, le '=', ce n'est pas difficile et ça devrait être suffisant ! Zorro, tu peux confirmer ce que je dis ?

Sinon, la dérivée c'est presque ça :
Non pas u'/V'= (u.v'-u'.v)/x²
mais plutôt : (u/v)' = (u'.v - u.v')/v² (dans ce sens pas dans l'autre)

Bonne soirée

⇔ $a^b$ < $b^a$
⇔ $ln(a^b$ ) < ln( $b^a$ )
⇔bln(a) < aln(b)
⇔bln(a)/ab < aln(b)/ab
⇔ ln(a)/a < ln(b)/b

⇔ $a^b$ > $b^a$
⇔ $ln(a^b$ ) > ln( $b^a$ )
⇔bln(a) > aln(b)
⇔bln(a)/ab > aln(b)/ab
⇔ ln(a)/a > ln(b)/b

⇔ $a^b$ = $b^a$
⇔ $ln(a^b$ ) = ln( $b^a$ )
⇔bln(a) = aln(b)
⇔bln(a)/ab = aln(b)/ab
⇔ ln(a)/a = ln(b)/b

f'(x)=(1-xlnx)
comme cela

Ton premier signe ⇔ de ta première ligne n'a rien à faire ici . La démonstration doit partir de ton hypothèse et tu dois justifier ta démonstration en citant les propriété que tu utilises (ce n'est pas la première fois qu'on te le dit ici )

$a^b$ < $b^a$ ⇔ $ln(a^b$ ) < ln( $b^a$ ) car le fonction LN est croissante sur $$mathbb{R}$^+$ et que les expressions .... sont bien strictement possitives
....
⇔ bln(a) < aln(b) ⇔ bln(a)/(ab) < aln(b)/(ab) car on divise par ab qui est un nombre positif
....

Tu comprends comment on rédige une démonstration ?

dsl je ne comprenais pas ce que vous en entendez par faire des phrases!
mais maintenant ça va merci
A.2

x | 0 1.5?? +∞

f'(x) | || + 0 -

f(x)| crois. 0 décroi.

Heu... tu t'éloignes pour la dérivée de f :frowning2:

Regarde bien ta réponse de 17.08.2009, 10:37, tu n'étais pas si loin :
f'(x)= (lnx-1)/x² (tu as calculé (uv' - u'v)/v²)
Or la dérivée de (u/v) est la suivante :
(u'v - uv')/v² (c'est le u qui est dérivé en "premier" dans le numérateur et non pas le v, sinon, tu obtiens l'opposé)

a ok...
f'(x)= (1- lnx)/x²

Là, c'est ok.
Plus qu'à refaire le tableau de variations

x | 0 $1/e^{-1}$ +00

1/x²| || +

1-lnx| || - 0 +

f'(x)| || - 0 +

f(x)| décrois. 0 crois.
mais dans mon premier message, j'avais trouvé la même dérivée et le même tableau de variations!

D'accord, du coup je comprends mieux ta dérivée du 1er message
Mais avoue que ce n'est pas très clair :

f'x)= -lnx/x²1/x²

=1/x²(1-lnx) (ici, je lis 1/(x²(1-ln x)) et non pas (1/x²) * (1 - ln x) )
C'est pour ça que je t'avais demandé de préciser la dérivée avec des parenthèses

Pour le tableau, tu n'y es pas tout à fait. Je te laisse chercher ton erreur pour le moment

y a pas de soucis c'est de ma faute!!
je suis désolée je n'ai pas trouvé

Eh bien, pour 1/x² pas d'erreur, si x > 0, x² > 0 et 1/x² > 0
Donc il ne reste pas grand monde...

je suis d'accord mais je ne vois pas mon erreur

Donc pour 1 - ln (x) :
Je suis d'accord que ça s'annule en $1/e^{-1}$ . D'ailleurs, en passant, $1/x^{-n}$ = $x^n$
donc on peut écrire plus simplement $1/e^{-1}$ = ...

Et donc, ce qui me semble bizarre, c'est que ln (x) est une fonction croissante, donc -ln (x) est sans doute décroissante...
Alors comment une fonction décroissante peut-elle être négative, s'annuler, puis positive

Allez, je te laisse trouver la faille (prochaine étape, je ne peux que te donner la réponse)

oui je comprends où je me suis trompée ( j'ai tapé une autre fonction sur ma calculatrice)

x | 0 +00

1/x²| || +

1-lnx| || -

f'(x)| || -

f(x)| décroissante

Non plus, puisqu'elle elle est sensée s'annuler quand x=e : 1 - ln e = 1 - 1 = 0
Ça n'apparaît pas sur ton tableau !
Petite question toute bête, travailles-tu avec un papier et un crayon ?

j'ai confondu les variations : oulala il faut que je me reprenne!

x | 0 e +∞

1/x²| || +

1-lnx| || + 0 -

f'(x)| || + 0 -

f(x)| crois. lne/e décrois.

Ok, ça a l'air mieux. Tu peux juste simplifier ta valeur f(e) = ln e/e
(ln e, tout le monde connaît ça)

Je crois sincèrement que tu seras plus efficace demain matin ! Ne t'inquiète pas, il y aura sans doute des gentils correcteurs dans les parages...

f(e) =1/e $e^{-1}$
oui j'arrête car je dis n'importe quoi, en tout cas merci de m'avoir fait avancer!!
j'aurai jamais cru m'être autant de temps pour un tableau de variation avec une fonction pas compliquée!
bonne soirée^^

Voilà, et peut-être qu'un exercice à la fois, c'est mieux pour la concentration (moi aussi, je jongle difficilement)

Bonne soirée à toi

est ce que j'ai le droit d'écrire ça: lim lnx/x =-∞
x→0
car lim xlnx=0
x→0

ensuite pour la B1.
B) en tattant sur ma calculette j'ai trouvé les couples (2;4) et (4;2)

Tu as le droit d'écrire ça, mais pas pour cette raison !
ln x / x pour x proche de 0 (x > 0 évidemment), ce n'est pas un cas indéterminé.

Par contre en +∞, c'est un résultat de cours, je crois...

Ok pour la B) mais on te demande d'utiliser A), pas la calculette
Comment peux-tu transformer ce qu'on te demande en te servant de A) ?

a ok c'est bon
oui lim lnx/x=0
x→+∞

ah quel dommage:
lnp/p =lnq/q non?

Etudier les variations de fonctions ln et comparer

x | 0 1/e-1 +00

1/x²| || +

1-lnx| || - 0 +

f'(x)| || - 0 +

x | 0 1.5?? +∞

f'(x) | || + 0 -

x | 0 1/e−11/e^{-1}1/e−1 +00

1/x²| || +

1-lnx| || - 0 +

f'(x)| || - 0 +

oui je comprends où je me suis trompée ( j'ai tapé une autre fonction sur ma calculatrice)

x | 0 +00

1/x²| || +

1-lnx| || -

f'(x)| || -

j'ai confondu les variations : oulala il faut que je me reprenne!

x | 0 e +∞

1/x²| || +

1-lnx| || + 0 -

f'(x)| || + 0 -

x | 0 $1/e^{-1}$ +00