Barycentres terminale S

Bonjour,

J'ai énormément besoin d'aide car je n'arrive point à cet exercice alors si vous pouviez me mettre sur la piste ou m'expliquer s'il vous plait !

Voici l'énoncé :

Soient A, B , C , D quatre points distincts deux à deux du plan

( PS : je ne comprend pas l'expression distincts deux à deux donc je n'arrive pas à construire la figure pour m'aider !)*

Montrer que ABCD est un parallélogramme si et seulement si D est le barycentre des points { (A,1) ; (B,-1) ; (C,1) }
On suppose que ABCD est un parallélogramme.

Déterminer l'ensemble (S) des points M du plan tels que :

$\vec{ ma} - \vec{mb} + \vec{mc} || = bd$

On suppose que ABCD est un rectangle.

a) Montrer que pour tout point M du plan on a

$ma^2 - mb^2 + mc^2 = md^2$

(PS: je sais qu'il faut utiliser la formule tels que P et Q des points du plan tel que PQ²= vecteur PQ² = vecteur PQ . vecteur PQ)

b) Déterminer l'ensemble E es points M du plan tels que :

$ma^2 - mb^2 + mc^2 = bd^2$

Voila alors si vous pouviez m'aider je vous en remercierai beaucoup car là j'ai vraiment du mal.

Merci d'avance
Cordialement

Diverses améliorations de l'énoncé - NdZ.

salut

"quatre points distincts deux à deux" : place quatre points tous distincts c-à-d. bien séparés sur ta page.

commentaire perso : ça ne te viendrai pas à l'idée d'en placer deux parmi les quatre au même endroit, non ? cette précision sémantique est tout-à-fait superflue à mon avis.

maintenant tu peux démarrer !

Bonjour , j'ai donc procédé aincipour la première question
→ → → →
MA-MB+MC=MD
→ → → → → → →
(MD+DA)-(MD+DB)+(MD+DC)=MD
→ → → → → → →
MD+DA-MD-DB+MD+DC=MD
→ → → →
DA-DB+DC=0

Donc D est le barycentre des points (A;1) , (B;-1) et (C;1)

Donc si D est le barycentre de ces points
alors
→ → → → → → → →
AD= -1 /(1-1+1)AB + (1/(1-1+1)AC = -AB+AC = BA+AC = BC

Donc AD=BC dc les vecteurs sont colinéaires et par définition deux vecteurs colinéaires ont meme direction , meme norme , meme sens!
→ → → → → → → → → →
CD= 1/(1-1+1)CA + -1/(1-1+1)CB = CA-CB= CA+BC= BC+CA=BA

Donc CD=BA dc les vecteurs sont colinéaires ...

Ainsi si et seulement si D est le barycentre de ces points alors ABCD est un parallélogramme car les vecteurs AD et BC ainsi que CD et BA sont colinaires.

Est ce que cela est correct?

Pour determiner l'ensemble S des pts M du plan j'ai procédé de cette façon

Je raisonne par équivalence
→
M∈S <=> ||(1-1+1)MD ||= BD
→
<=> || MD || = BD
→
<=> MD=BD

Donc M appartient à S lorsque (A; 1BD)

Donc j'ai calculé pour construire D
et j'ai tracé le cercle de rayon BD

est ce juste ?

MA²-MB²+MC² = MD²
(MD+DA)²-(MD+DB)²+(MD+DC)² = MD²
MD ² +DA²-MD²+DB²+MD²+DC²=MD²
MD²+DB²+DC.DC= MD²
DB²=MD²-MD²
DB²=0

l'ensemble E des pts M du plan et un cercle de diamètre DB mais je n'en suis pas certaine je pense meme qu'il ya une erreur mais je n'ai pas trouvé quoi ?

re.

je regarderai ton exo demain sans faute !

bonne soirée.

Daccord je vous remercie , bonne soirée à vous aussi

Salut

Je te propose de ne travailler que question par question, ok ?

Enoncé

*1. Montrer que ABCD est un parallélogramme si et seulement si D est le barycentre des points { (A,1) ; (B,-1) ; (C,1) }
*
Ta réponse
Bonjour , j'ai donc procédé ainsi pour la première question
→ → → →
MA-MB+MC=MD
→ → → → → → →
(MD+DA)-(MD+DB)+(MD+DC)=MD
→ → → → → → →
MD+DA-MD-DB+MD+DC=MD
→ → → →
DA-DB+DC=0

Donc D est le barycentre des points (A;1) , (B;-1) et (C;1)

Ecoute, je ne comprends pas bien ton raisonnement.

Je te propose plutôt de partir de la caractérisation vectorielle du parallélogramme ABCD

$ab⃗=dc⃗\vec{ab} = \vec{dc}$
et d'utiliser la relation de Chasles pour obtenir l'équivalence avec

$da⃗−db⃗+dc⃗=0⃗\vec{da} - \vec{db} + \vec{dc} = \vec 0$

En fait, ce que tu as fait dans ta réponse est une redite du cours, entre deux "définitions" du barycentre... mais ça ne fait aucun lien avec le fait que la figure est un parallélogramme.

Oui je suis ok !
D est barycentre si est seulement si
alpha DA + beta DB + gamma DC = vecteur nul

Puisque ABCD parallélogamme alors AD=BC et AB=DC

DB= DA+AB
<=> DB = DA+DC
<=> Vecteur nul = DA-DB+DC

est ce juste ?

re.

c'est partout des vecteurs n'est-ce pas ?

alors il faudrait que tu m'expliques comment tu justifies le passage en rouge
moumoune
DB= DA+AB
<=> DB = DA+DC
<=>Vecteur nul = DA-DB+DC
c'est un peu rapide, non ?

je pense qu'il est plus judicieux d'introduire le point D dans l'égalité que j'ai donnée dans mon post précédent. ou même dans celle que tu proposes vec{AD} = vec{BC}.

stp, peux tu lire comment afficher des vecteurs en LaTeX sur le forum ? ça aidera à bien se comprendre !

Alors j'ai fait :

$db⃗=da⃗+ab⃗\vec{db}=\vec{da}+\vec{ab}$
$⟷db⃗=da⃗+dc⃗\longleftrightarrow \vec{db}=\vec{da}+\vec{dc}$

Et en fait, je soustrais de chaque coté $db⃗\vec{db}$ puisqu'on sait que D est le barycentre des points A, B, C si et seulement si :

$da⃗−db⃗+dc⃗=0⃗\vec{da}-\vec{db}+\vec{dc}=\vec{0}$

Donc ça me donne

$db⃗−db⃗=da⃗+dc⃗−db⃗\vec{db}-\vec{db} = \vec{da} + \vec{dc}-\vec{db}$
$⟷0⃗=da⃗−db⃗+dc⃗\longleftrightarrow \vec{0}= \vec{da}-\vec{db}+\vec{dc}$

Est ce juste ?

je n'arrive pas à afficher les flèche par contre donc je ne sais pas pourquoi pourtant j'ai regarder votre article !

Mais les vecteurs sont en écriture plus grosses

Ok je suis maintenant d'accord avec toi.

un conseil : à chaque ligne, dans ta rédaction, applique-toi à faire apparaître une courte justification/explication.

Pour le code LaTeX, c'était pas mal pour un début ; j'y ai remis un peu d'ordre pour que l'affichage soit correct.
Note ceci : une commande LaTeX commence par un antislash \ que tu obtiens en pressant simultanément [Alt Gr] et [8_] ok ?
Ainsi, il faut coder (avec une seule balise TeX en début et fin de ligne) quelque chose comme

[ tex] \vec{AB} = \vec{AZ} + \vec{ZB} [ /tex]
Sinon, c'est vrai que les lettres sont plus grosses mais au stade où on est, ce n'est qu'un détail ; par contre il est essentiel de bien écrire les vecteurs (ça nous simplifiera la tâche à tous les deux).

Enfin, tu peux te simplifier la vie avec le Visualisateur LaTeX que tu retrouve dans les math-Outils dans le bandeau de gauche. Tu en comprendras vite le fonctionnement !

Question 2
On suppose que ABCD est un parallélogramme.

Déterminer l'ensemble (S) des points M du plan tels que :

$\vec{ ma} - \vec{mb} + \vec{mc} || = bd$

Ta réponse
Pour determiner l'ensemble S des pts M du plan j'ai procédé de cette façon

Je raisonne par équivalence
→
M∈S <=> ||(1-1+1)MD ||= BD
→
<=> || MD || = BD
→
<=> MD=BD

Donc M appartient à S lorsque (A; 1BD)

Donc j'ai calculé pour construire D
et j'ai tracé le cercle de rayon BD

est ce juste ?
Bon je devine ce que tu as fait et ça me semble correct, mais le pb d'affichage des vecteur me laisse penser qu'il y a qq erreurs heureusement sans trop d'incidence.
Peux-tu reprendre en affichant les vecteurs avec LaTeX et en prenant garde à des erreurs comme la 5e ligne ou la bizarrerie de la 6e ?

@+

Merci pour la visionneuse et merci de consacrer du temps pour m'aider ...

Alors pour determiner l'ensemble S :

On sait que alpha $ma⃗\vec {ma}$ + Béta $mb⃗\vec {mb}$ + gamma $mc⃗\vec {mc}$ = (alpha + Béta + Gamma) $md⃗\vec {md}$
Ainsi $ma⃗−mb⃗+mc⃗\vec {ma} - \vec {mb} + \vec {mc}$ = $md⃗\vec {md}$
Donc M∈S <=> || $ma⃗−mb⃗+mc⃗\vec {ma} - \vec {mb} + \vec {mc}$ || = BD

<=> || $md⃗\vec {md}$ || = BD
<=> $md⃗\vec {md}$ = BD

Voilà j'ai remis en vecteur ainsi vous pourrez voir si une erreur est présente !

moumoune2992

$\vec {md} || = bd$
$↔md⃗=bd\leftrightarrow \vec {md} = bd$
Voilà j'ai remis en vecteur ainsi vous pourrez voir si une erreur est présente !
déjà une rq sur le code pour améliorer un peu l'affichage de ce que j'ai repris en citation, voici ce que j'ai tapé :

[ tex] || \vec {MD} = BD || [ /tex]
[ tex] \Leftrightarrow \vec{MD} = BD [ /tex]

pour le reste l'erreur dans ce que tu écris tient à l'équivalence ! ce n'est qu'un implication dans le sens <=

tu peux écrire en conclusion simplement que la longueur MD est égale à la longueur BD, sans flêche : il n'y a plus de vecteurs.

le lieu des points M est donc ... éventuellement privé de quelque chose, non ?

AInsi le lieu des points M est un cercle de rayon BD donc les points M sont sur le cercle : est ce juste ?

... et quel est son centre ?

inversement, tous les points de ce cercle sont-ils dans l'ensemble en question ?

à + tard.

le centre du cercle est D ...
Oui tous les pts de ce cercle sont dans l'ensemble ...
Enfin ça me parait logique mais c'est possible que je fasse des erreurs !

et le point B ?

ah oui le point B fait partie du cercle puisque que BD est le rayon !
Sinon c'ets juste ?

bon courage et bonne rentrée moumoune2992

ca va sinon c quoi que tu n'as pas compris dans les barycentres?

j'essaierai de t'aider demain

c cool constellation

Oui merci !

En fait j'ai fait mais je ne sais pas si c'est bon ... Mais maintenant il ya que la question 3 que je n'ai pas compris car grace à Zauctore j'ai compris et corriger mes erreurs ...
Pour la question 3 , j'ai du mal à savoir comment procéder car la ce que j'ai fait je pense que c'est faux !!

Merci d'avance pour demain

je te demandais juste si tu étais sûr que le point B par exemple est dans l'ensemble S (c'est le cas, mais il faut être prudent parfois avec certains points "limite") - autrement dit, savoir si tu as réellement travaillé par équivalence.

Question 3
On suppose que ABCD est un rectangle.

a) Montrer que pour tout point M du plan on a

$ma^2 - mb^2 + mc^2 = md^2$

(PS: je sais qu'il faut utiliser la formule tels que P et Q des points du plan tel que PQ²= vecteur PQ² = vecteur PQ . vecteur PQ)

b) Déterminer l'ensemble E es points M du plan tels que :

$ma^2 - mb^2 + mc^2 = bd^2$
Ta réponse
MA²-MB²+MC² = MD²
(MD+DA)²-(MD+DB)²+(MD+DC)² = MD²
MD ² +DA²-MD²+DB²+MD²+DC²=MD²
MD²+DB²+DC.DC= MD²
DB²=MD²-MD²
DB²=0
déjà tu as un gros problème de rédaction, de méthode : tu pars de la propriété à démontrer (en rouge) !

pars plutôt du membre de gauche, opère des transformations successives en essayant d'arriver au membre de droite (et n'oublie pas les doubles produits) :

$ma2−mb2+mc2=(md⃗+da⃗)2−(md⃗+db⃗)2+(md⃗+dc⃗)2=⋯ma^2 - mb^2 + mc^2 = (\vec{md} + \vec{da})^2 - (\vec{md} + \vec{db})^2 + (\vec{md} + \vec{dc})^2 = \cdots$
tu essaies ? on verra bien où ça mènera !

oui j'essaie ,il n'y a pas de soucis pour ça , justement je suis la pour que j'essaie et que je corrige mes erreurs grace à vos explications... et je mettrais ce que j'ai fait , il fautq ue j'aboutisse à MD²

faut - il utiliser la relation
$da⃗−db⃗+dc⃗=0⃗\vec {da} - \vec {db} + \vec {dc} = \vec{0}$
car cette relation est la meme au carré
non ?

Finalemant j'ai fait ainsi :
Puisque on suppose que ABCD est un rectangle :
AB = DC et AD = BC

MA² - MB² + MC²
= $md+da⃗−md+db⃗+md+dc⃗\vec{md+da} - \vec{md+db} + \vec{md+dc}$
= $md⃗+da⃗−md⃗−db⃗+md⃗+dc⃗\vec{md} + \vec{da} - \vec{md} - \vec{db} + \vec{md} + \vec{dc}$

= $da⃗−db⃗+md⃗+dc⃗\vec{da} - \vec{db} + \vec{md} + \vec{dc}$

Puisque $db⃗\vec{db}$ = $da⃗+ab⃗\vec{da}+ \vec{ab}$ et que DC=AB

= $md⃗+da⃗−da⃗−ab⃗+ab⃗\vec{md} + \vec{da} - \vec{da} - \vec{ab} + \vec{ab}$
= $md⃗\vec{md}$

et on sait que $md⃗\vec{md}$ ² = MD²

Par contre pour ce qui en est du b) est ce que je dois procéder de la meme facon ?

salut !
moumoune2992
Finalement j'ai fait ainsi :
Puisque on suppose que ABCD est un rectangle :
AB = DC et AD = BC

MA² - MB² + MC²
= $md+da⃗−md+db⃗+md+dc⃗\vec{md+da} - \vec{md+db} + \vec{md+dc}$
= $md⃗+da⃗−md⃗−db⃗+md⃗+dc⃗\vec{md} + \vec{da} - \vec{md} - \vec{db} + \vec{md} + \vec{dc}$

= $da⃗−db⃗+md⃗+dc⃗\vec{da} - \vec{db} + \vec{md} + \vec{dc}$

Puisque $db⃗\vec{db}$ = $da⃗+ab⃗\vec{da}+ \vec{ab}$ et que DC=AB

= $md⃗+da⃗−da⃗−ab⃗+ab⃗\vec{md} + \vec{da} - \vec{da} - \vec{ab} + \vec{ab}$
= $md⃗\vec{md}$

Bien, il faut faire preuve de plus de rigueur que cela moumoune.

Je reprends le début de tes calculs :

Puisque on suppose que ABCD est un rectangle : [donc ?] [si et seulement si ?]
AB = DC et AD = BC.

il n'y a rien d'autre ? et des angles droits, donc des produits scalaires nuls ?

$=md⃗+da⃗−md⃗−db⃗+md⃗+dc⃗\small ma^2 - mb^2 + mc^2 \ \ = (\vec{md}+\vec{da})^2 - (\vec{md}+\vec{db})^2 + (\vec{md}+\vec{dc})^2 \ \ = \vec{md} + \vec{da} - \vec{md} - \vec{db} + \vec{md} + \vec{dc}$

à la deuxième ligne il ne faut oublier ni les parenthèses ni les carrés.

La dernière ligne est grossièrement fausse : comment développes-tu $(x+y)2\small (x + y)^2$ ? n'oublie pas les doubles-produits !

Reprends correctement ces calculs stp.

ah oui quelle erreur , décidement vivement que les cours reprennent por bien s'y remettre !!

x²+2xy+y²
et je developpe ainsi les carrés entre parenthèses alors !

je n'arrive pas à mettr les vecteurs lorsque j'ajoute un ² ou un produit scalaire mais toute l'expression suivante comporte des vecteurs

MA ² - MB ² + MC ²

=(MD+DA) ² - (MD+DB) ² + (MD+DC) ²

=MD² + 2MD.DA + DA² - [MD²+2MD.DB+DB²] + MD²+2MD.DC+DC²

= MD² + 2MD.DA + DA² - MD² - 2MD.DB + MD² +2MD.DC+DC²

= 2MD.DA + DA² - 2MD.DB - DB² +MD² + 2 MD.DC +DC²

Jusque là est ce que c'est juste ? parce que après je developpe DB² en (DA+AB)²
et est ce possible de factoriser 2 MD.DA - 2MD.DB+2MD.DC en
2MD ( DA-DB+DC) ?

re.

pb d'affichage, c'est normal : ² n'est pas une commande LaTeX, il faut préférer ^2, une puissance quoi. pour noter "produit scalaire", tu peux coder \cdot qui affichera un point "centré verticalement".

jusque là c'est juste :

2MD.DA + DA² - 2MD.DB - DB² +MD² + 2 MD.DC +DC²
(où ce sont partout des vecteurs)

tu peux effectivement factoriser comme tu l'as proposé, et tu te servira de la question 1. c'est vrai qu'il y a le souci avec les DA² - DB² + DC²... bah on verra où ça mène (avec un vieux théorème bien connu sans doute ... n'oublie pas qu'on est dans un rectangle).

j'ai pas trop le temps maintenant, faut bientôt que je retourne bosser.

à ce soir !

et j'ai le droit de developper DB en DA+AC ?

ensuite je fais

2MD.DA + DA² - 2MD.DB - (DA+AB)² + MD² + 2MD.DC +AB²

Puisque ABCD est un rectangle DC=AB

= 2MD.DA + DA² - 2MD.DB -[DA² + 2DA.AB +AB²]+MD² +2MD.DC+AB²

=2MD.DA + DA² - 2MD.DB -DA² - 2DA.AB - AB²+MD² +2MD.DC+AB²

=2MD.DA - 2MD.DB - 2DA.AB+ MD² + 2MD.DC

DA.AB = 0 puisque c'ets un angle droit

= 2MD ( DA-DB+DC) + MD²

puisque DA -DB+DC =0 dc le produit 2MD(DA-DB+DC) = 0

=MD²

est ce juste ?

à part une coquille au début (DB en DA+A
C), c'est bon (bien vu, d'ailleurs). le recours au théorème de Pythagore permettait d'aller plus vite :

sachant que DC² = AB², j'ai DA² + AB² = DB² dans le triangle DAB rectangle en A. d'où DA² - DB² + AB² = 0 c'est-à-dire DA² - DB² + DC² = 0.

c'est bien, tu es entreprenante dans tes démarches !

ah non je me suis trompé de touche c'est tout parce que après j'ai mis DA+AB ... Oui c'ets plus rapide mais si je laisse comme ça étant donnée que ça fonctionne et que c'est correct est ce grave?

t'inquiète pas j'avais vu que ce n'était qu'une coquille !

bien sûr, ta démarche est tout-à-fait correcte ; je t'ai indiqué l'autre pour ton information personnelle.

tu continues ?

Oui j'ai coninué

Alors
D'après la question 2 on sait que BD = MD
<=> BD²=MD²

On sait que MA²-MB²+MC² = MD²
<=> MA² - MB²+ MC² = BD²

Ainsi l'ensemble E est un cercle de diamètre BD ? pour ceci je n'en suis pas certaine , je ne sais pas si BD est le diamètre ou si le rayon vaut 2*BD ?

à première vue, c'est indépendant de la question 2.

disons que c'est d'après 3a) que l'on a MA² - MB² + MC² = BD² pour tout point M ; d'où l'on déduit que les points M cherchés sont tels que MD² = BD² c'est-à-dire MD = BD (les distances sont positives).

BD est plutôt le rayon, non ?

Pour la question 2) BD est un rayon mais pour la question 3 je n'arrive pas à montrer que l'ensemble E est un cercle ... Et je ne vois pas pourquoi il redemande cela alors que l'on a déja fait pour la question 2 )