Résoudre une équation avec des nombres complexes

Bonjour a tous, je dois resoudre une equation avec des nombres complexes qui me parait imposante :

$(z−2iz+2i)3+(z−2iz+2i)2+(z−2iz+2i)+1=0.\left(\frac{z-2i}{z+2i}\right)^3 +\left(\frac{z-2i}{z+2i}\right)^2 +\left(\frac{z-2i}{z+2i}\right) +1 = 0.$

Est ce que je dois resoudre directement en remplaçant le z par (x+iy) ou y - a t-il quelque chose de plus interressant a voir?

Merci d'avance aux personnes qui me consacreront du temps. Veuillez excuser la syntaxe, je vais essayer d'utiliser les balises Latex a l'avenir.

Pas de pb, c'est normal de ne pas tout savoir lorsqu'on est nouveau sur un site.

voici un outil pour aider à la syntaxe LaTeX : Visualisateur LaTeX, que tu retrouves dans le bandeau de gauche, catégorie Math-Outils

je ferais volontiers un changement de variable pour ton équation, en posant Z = ... devine quoi, et après ça ressemblera à un truc bien connu !

Vous parlez d'un polynome?

un polynôme bien spécial en effet : 1 + Z + Z² + Z³.

ça ne te rappelle rien ?

Pour l'instant non rien de spécial :rolling_eyes: .

si si : somme des premiers termes d'une ...

alors ?

tjs pas ?

bah je dirai la somme avec les n allant de 0 à 3 d'une suite géometrique de raison Z comme posée precedemment .
Mais je vois pas comment s'en servir pour resoudre l'equation donc ça doit pas etre à ça que vous pensiez.

exactement ! continue !

Et si je factorise par (Z+1)(Z²+1) = 0 est ce que ça marche ou il vaut mieux passer par les suites?

AmandineBoucly
Et si je factorise par (Z+1)(Z²+1) = 0 est ce que ça marche ou il vaut mieux passer par les suites?

je m'attendais plutôt à

$z4−1z−1\frac{z^4 - 1}{z - 1}$
mais ça peut marcher avec ton équation.

tâche de résoudre ça, dans l'ensemble des complexes bien entendu.

Je trouve que x et y sont egaux a zero . Je pense que c'est faux donc je vous montrer ce que j'ai fait ;
(Z+1)(Z²+1)=0 <=> (Z+1)=0 ou (Z²+1)=0 <=> Z=-1 ou Z²=-1 donc impossible. <=> (z-2i)/(z+2i)=-1 <=> (z-2i)=(-z-2i) <=> z=0 <=> x+iy = 0 .

comment donc ?
Z=-1 ou Z²=-1 donc impossible
dans le monde fabuleux des complexes, cette seconde équation est résoluble (les complexes ayant été crées pour ça !).

:s donc les solutions sont (0,0);(0,1)et (0,-1) ( sauf erreurs) merci beaucoup pour cette aide plus que precieuse

n'oublie pas que les complexes ne s'écrivent plus depuis longtemps comme des couples, mais plutôt sous la forme
0
i
-i
pour ceux que tu as donnés.

pour être sûre que tu n'as pas fait d'erreur, je t'encourage à vérifier si tes solutions sont correctes en remplaçant z dans chaque cas.

@+ Amandine !

bon bah effectivement c'est faux.

re.

a) Z + 1 = 0 donne ...

b) Z² + 1 = 0 donne ...

peux-tu écrire tes calculs stp ?

a) Z+1 =0 <=> Z=-1 <=> $z−2iz+2i\frac{z-2i}{z+2i}$ =-1 <=> z-2i=-z-2i <=> 2z=0 <=> z=0

b)Z²+1=0 <=> Z²=i² <=> Z=i ou -i

1) $z−2iz+2i\frac{z-2i}{z+2i}$ =i <=>z-2i=iz+2i² <=> x+iy+2-ix+iy-2i =0 <=>
$\left{ {x+y+2=0\-x+y-2=0}\right.$ <=> x=-2 et y =0

$z−2iz+2i\frac{z-2i}{z+2i}$ =-i <=> (z-2i)=-iz-2i² <=> z-2i=-iz+2 <=> x-y-2+ix+iy-2i=0 <=> $\left{ {x-y-2 = 0 \ x+y-2 = 0} \right.$ <=> x=-2 et y = 4 .

salut !

a) je suis d'accord.

b) 1) z-2i = iz+2i² donne x + iy - 2i - ix + y - 2 =0, donc x + y - 2 = 0 et y - x -2 = 0.
soit 2y - 4 = 0 et 2x = 0, ce qui n'est pas tout à fait la même chose (z = 2i).

au début, c'est z-2i = -iz

2directement !
le reste est bon. sauf la fin : 2x - 4 = 0 (par addition) donne x = 2 pour la première inconnue et 2y = 0 (par soustraction) donc y = 0 pour la 2e inconnue.
le complexe solution est donc z = 2.

teste un peu pour voir si je n'ai pas commis une étourderie !

coucou

b) 1) z-2i = iz+2i² donne x + iy - 2i - ix + y

2=0, regarde je pense que c'est +2 et non -2

re.

voyons :

b) 1) z-2i = iz+2i² ssi x + iy - 2i = i(x + iy)
-2 (car i² = -1)
ssi x + iy - 2i = ix - y - 2 (même raison)
ssi x + iy - 2i - ix + y + 2 = 0.

je maintiens le "+ 2", tu es d'accord ?

ah pardon non c'est une erreur de lecture entre les 2 solutions , veuillez m'excuser . Merci beaucoup Zauctore

ah non non dans ton message plus haut regarde tu as mis -2

oui oui c'est vrai tu as tout à fait raison finalement (je ne sais pas ce que j'ai fabriqué) !