Geométrie et Fonctions

[Low]

Bonjour à tous,

J'ai un DM à faire et je n'y arrive pas vraiment ( pour ne pas dire du tout xD ). Aidez moi s'il vous plait ! Je vous remercie d'avance
Donc :

image faite sur paint ^^'

C est un demi-cercle de diamètre [AB] et de rayon 1.
Le point M décrit C.
On pose l'angle AOM = x avec x exprimé en radians;
x appartient à l'intervalle I = [0; π ].
On note A la fonction définie sur I qui à x associe A(x), aire du domaine colorié en jaune.

1. a) Sur deux figures différentes, placez M lorsque :
   x= π/2 et x= π/3

b) Dans chaque cas, précisez la nature du triangle OAM.

c) Démontrez que A(π/2) = (π/4) - (1/2)
et A(pi/3) = (π/6) - (√(3)/4)

2. Comment varie géométriquement l'air du domaine colorié en jaune, lorsque M décrit C de A à B ?

3. On note f la fonction définie sur [ 0;π ] par :
   f(x) = x - sin x

a) Démontrez que f=2A

b) Déduisez de la question précédente que f est strictement croissante sur I.

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J'ai réussi à placer M.
donc pour x=π/2 c'est un triangle rectangle
et pour x=π/3 c'est un triangle équilateral.

Mais pour le suite je ne sais pas du tout comment faire ....

[Zorro]

Bonjour

Aire jaune = aire de la portion de cercle que j'écris (AOM) - aire du triangle AOM

si x = $pi$/2 que vaut l'aire de la portion de cercle et celle du triangle AOM ?

si x = $pi$/3 que vaut l'aire de la portion de cercle et celle du triangle AOM ?

[Low]

L'aire du triangle AOM est de 0.5 ?

[Zorro]

Et l'aire d'un cercle de rayon 1 cela vaut quoi ?

Donc l'aire d'un quart de cercle de rayon 1 cela vaut quoi ?

[Low]

L'aire d'un cercle de rayon 1 vaut 2π. et d'un quart de cercle 2π/4 ?
...

[Zauctore]

non, la formule étant $pi$R², ça ne fait pas 2$pi$, mais $pi$ tout seul.

tu confonds aire et périmètre ?

[Zorro]

ALors tu peux continuer ?

Car 2$pi$/4 cela se simplifie aisément non ?

[Low]

aah ouii !!!!!!!
Donc ca fait π/2.

[Zorro]

ALors , tout(e) seul(e) tu trouves la suite puisque tu as la réponse ; il ne faut plus que calculer ce qu'il faut pour y arriver !

Bons calculs !

[Zorro]

Bon sang , mais il fallait pas trouver A($pi$/2) = ($pi$/4) - (1/2) ....

tu crois pas que tu as fait une erreur quelque part , recommence encore une fois !

[Low]

A(π/2) = (π/4) - (1/2)

A( aire du demi cercle ) = ( aire d'un quart de cercle ) - L'air du triangle AOM

??

[Zorro]

Ce n'est pas un demi cercle !

[Low]

Pour x= pi/2
L'aire de AOM = 1/2
L'aire de la partie jaune et de AOM = pi/4
Donc l'aire de la partie jaune = (pi/4) - (1/2)

Pour x = pi/3
L'aire de AOM = (√(3)/2) x (1/2) = √(3)/4
l'aire de la partie jaune et de AOM = (pi/3) * (1/2) = (pi/6)
Donc l'aire de la partie jaune = (pi/6) - (√(3)/4)

2. L'aire du domaine augmente .

C'est bon ?
Et après pour la 3 je ne sais pas du tout comment faire.

[Zorro]

Pour le moment tout va bien !

Alors maintenant tu prends un point M quelconque ! Tu calcule l'aire de AOM en fonction de l'angle x , là il faudra se souvenir de ses cours de collège pour se rappeler à quoi est égal sin(x) dans un triangle rectangle , pour calculer une hauteur dans AOM

Tu calcules ensuite l'aire de la portion de cercle (AOM) en fonction de x

Et tu devrais trouver : aire jaune = (1/2) [x - sin(x)] si tu suis un peu ton énoncé !