Geométrie et Fonctions


  • L

    Bonjour à tous,

    J'ai un DM à faire et je n'y arrive pas vraiment ( pour ne pas dire du tout xD ). Aidez moi s'il vous plait ! Je vous remercie d'avance
    Donc :

    http://img186.imageshack.us/img186/5634/geo.th.png
    image faite sur paint ^^'

    C est un demi-cercle de diamètre [AB] et de rayon 1.
    Le point M décrit C.
    On pose l'angle AOM = x avec x exprimé en radians;
    x appartient à l'intervalle I = [0; π ].
    On note A la fonction définie sur I qui à x associe A(x), aire du domaine colorié en jaune.

    1. a) Sur deux figures différentes, placez M lorsque :
      x= π/2 et x= π/3

    b) Dans chaque cas, précisez la nature du triangle OAM.

    c) Démontrez que A(π/2) = (π/4) - (1/2)
    et A(pi/3) = (π/6) - (√(3)/4)

    1. Comment varie géométriquement l'air du domaine colorié en jaune, lorsque M décrit C de A à B ?

    2. On note f la fonction définie sur [ 0;π ] par :
      f(x) = x - sin x

    a) Démontrez que f=2A

    b) Déduisez de la question précédente que f est strictement croissante sur I.


    J'ai réussi à placer M.
    donc pour x=π/2 c'est un triangle rectangle
    et pour x=π/3 c'est un triangle équilateral.

    Mais pour le suite je ne sais pas du tout comment faire ....


  • Zorro

    Bonjour

    Aire jaune = aire de la portion de cercle que j'écris (AOM) - aire du triangle AOM

    si x = pipipi/2 que vaut l'aire de la portion de cercle et celle du triangle AOM ?

    si x = pipipi/3 que vaut l'aire de la portion de cercle et celle du triangle AOM ?


  • L

    L'aire du triangle AOM est de 0.5 ?


  • Zorro

    Et l'aire d'un cercle de rayon 1 cela vaut quoi ?

    Donc l'aire d'un quart de cercle de rayon 1 cela vaut quoi ?


  • L

    L'aire d'un cercle de rayon 1 vaut 2π. et d'un quart de cercle 2π/4 ?
    ...


  • Zauctore

    non, la formule étant pipipiR², ça ne fait pas 2pipipi, mais pipipi tout seul.

    tu confonds aire et périmètre ?


  • Zorro

    ALors tu peux continuer ?

    Car 2pipipi/4 cela se simplifie aisément non ?


  • L

    aah ouii !!!!!!!
    Donc ca fait π/2.


  • Zorro

    ALors , tout(e) seul(e) tu trouves la suite puisque tu as la réponse ; il ne faut plus que calculer ce qu'il faut pour y arriver !

    Bons calculs !


  • Zorro

    Bon sang , mais il fallait pas trouver A(pipipi/2) = (pipipi/4) - (1/2) ....

    tu crois pas que tu as fait une erreur quelque part , recommence encore une fois !


  • L

    A(π/2) = (π/4) - (1/2)

    A( aire du demi cercle ) = ( aire d'un quart de cercle ) - L'air du triangle AOM

    ??


  • Zorro

    Ce n'est pas un demi cercle !


  • L

    Pour x= pi/2
    L'aire de AOM = 1/2
    L'aire de la partie jaune et de AOM = pi/4
    Donc l'aire de la partie jaune = (pi/4) - (1/2)

    Pour x = pi/3
    L'aire de AOM = (√(3)/2) x (1/2) = √(3)/4
    l'aire de la partie jaune et de AOM = (pi/3) * (1/2) = (pi/6)
    Donc l'aire de la partie jaune = (pi/6) - (√(3)/4)

    1. L'aire du domaine augmente .

    C'est bon ?
    Et après pour la 3 je ne sais pas du tout comment faire.


  • Zorro

    Pour le moment tout va bien !

    Alors maintenant tu prends un point M quelconque ! Tu calcule l'aire de AOM en fonction de l'angle x , là il faudra se souvenir de ses cours de collège pour se rappeler à quoi est égal sin(x) dans un triangle rectangle , pour calculer une hauteur dans AOM

    Tu calcules ensuite l'aire de la portion de cercle (AOM) en fonction de x

    Et tu devrais trouver : aire jaune = (1/2) [x - sin(x)] si tu suis un peu ton énoncé !


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