Etudier le sens de variation d'une suite et en déduire qu'elle converge

Bonjour , voici mon exercice :

on me donne cette suite avec U1 = -1 :

$un+1=nun2(n+1)+3(n+2)2(n+1)u_{n+1} = \frac{nu_n}{2(n+1)} + \frac{3(n+2)}{2(n+1)}$
on me demande d'étudier le sens de variation de la suite et en déduire qu'elle converge, pour cela j'étudie U(n+1) - Un mais j'arrive a un résultat non exploitable ...

Merci d'avance

salut

a priori, la méthode que tu as employée est adaptée.

peux-tu confirmer que c'est bien l'écriture correcte, dans ce que j'ai tapé en remplacement (à des fins de lisibilité) ?

on verra après.

oui cé bien ca !! merci

ok ; donc

$un+1−un=nun2(n+1)+3(n+2)2(n+1)−unu_{n+1} - u_n = \frac{nu_n}{2(n+1)} + \frac{3(n+2)}{2(n+1)} - u_n$

ça donne

$un+1−un=nun+3(n+2)2(n+1)−2(n+1)un2(n+1)u_{n+1} - u_n = \frac{nu_n + 3(n+2)}{2(n+1)} - \frac{2(n+1)u_n}{2(n+1)}$

et ensuite ?

aaah !! merci beaucoup ! j'essayais désespéremment de remplacer Un par sa valeur en fait.. ce qui me donnait des calculs énorme... en fait je peux laisser Un comme ca , et ensuite en déduire le signe ?

oui tu peux, mais attend la détermination du signe est une autre histoire ; tu as simplifié le membre de droite de mon membre de droite ?

oui , ca me donne : ((n+2) x ( 3 - Un )) / (2(n+1)) , tout cela est positif puisque Un est majorée par 3 , 3- Un > 0

ah elle est majorée par 3... comment as-tu trouvé ça ?

ah ba dans la premiere question , ils nous demandaient de prouver que la suite était majorée par 3 , en raisonnant par récurrence.

d'accord - mais t'aurais pu le dire en vitesse dans ton post initial

ok, donc tu as fini puisque Un est croissante (et majorée).

@+

oui , merci beaucoup !!

Je bloque sur la suite de l'exercices :s , on me donne une seconde suite (Vn) où Vn = n(3-Un )
Il faut montrer que c'est une suite géométrique mais je trouve toujours comme raison : ( n+1)/ (2n+2) .. ce qui n'est pas possible car il reste des n.. j'ai beau chercher je retombe toujours sur ce résultat..
Merci d'avance