Nombres Complexes - Modules

Bonjour à vous!

A peine entrés en Tle S, notre prof nous offre déjà un joli devoir maison!

Là n'est pas le problème, tout les exercices étant réussis et finis, sauf un irréductible, auquel je me suis cassé la tête en vain. J'ai eu beau chercher dans mon cours de 1ere, je n'ai rien trouvé qui puisse m'aider. Je fais donc appel a vous, afin de comprendre comment résoudre cet exercice.

Il s'agit de trouver le module de z a partir de :

$z=i45783(1+3i)27cos(4π17)−27sin(4π17)z=\frac{i^{45 783}(1+3i)}{27cos(\frac{4\pi}{17})- 27sin(\frac{4\pi}{17}) }$

Si je ne m'abuse, $i^{45 783}=1$ , ce qui donne au dessus 1+3i tout simplement.

Le problème c'est la partie du dessous... La je suis coincé, je trouve rien pour avancer.

En espérant que vous puissiez me donner un petit coup de pouce,

Takakoa

Bonsoir ,

Le dénominateur est le nombre complexe de module 27 et d'argument -4*pi/27. | z |= le rapport des modules. Il ne te reste donc plus qu' à calculer le module du numérateur.

à bientôt

"Plus qu'à", l'expression me fait sourire ^^

Merci de la réponse en tout cas :D.

ça va ! le module du numérateur est hyper simple

| Z | ² = x² + y²

Oui, je connais les formules des modules et conjugués etc...

Mais j'ai besoin d'une confirmation. Si on prend pour le dénominateur la formule 2cos(n)²-1 (avec n=4pi/17 ici), on tombe bien sur [52cos(4pi/17)]²-1?

Me suis-je trompé dans le choix de la formule? Ou dans le calcul de la formule?

je ne vois pas de quelle formule tu parles ( celle qui donne cos(2x) ?) Oui cos(2x) = 2 cos²(x) - 1 mais pourquoi faire ? Peut être est-ce que je trompe totalement mais je n'en vois pas l'utilité dans ce cas là ; On te demande bien de calculer le module du rapport ?

En effet, je me rend compte petit a petit que je me suis totalement gouré. J'ai cherché une formule trigonométrique pour simplifier le dénominateur, et en fait je me suis compliqué la vie je crois.

En fait j'ai cherché a mettre z sous une forme complexe, donc a+ib, donc je me suis dit qu'en simplifiant le dénominateur on arrivera a quelque chose du genre a/n+bi/m (si vous voyez ce que je veux dire par la). D'ailleurs je ne retrouve même plus où j'ai trouvé cette formule....

(Bon l'exercice était noté et je l'ai déjà rendu, mais je cherche quand même a trouver la solution a cet exercice dont la correction ne me sera pas donnée par le prof... )

Salut

Pour le dénominateur :

$27cos(\frac{4\pi}{17})- 27\times i\times {sin(\frac{4\pi}{17})$

J'ai ajouté un i (c'est bien ça ?)

=

$27 \times [cos(\frac{4\pi}{17})- i.sin(\frac{4\pi}{17})]$

=

$27 \times [cos(\frac{-4\pi}{17})+ i.sin(\frac{-4\pi}{17})]$

car cos(-Θ) = cos(Θ) et sin(-Θ) = -sin(Θ)

D'où la réponse de Gilbert13 : "Le dénominateur est le nombre complexe de module 27 et d'argument -4*pi/27"

Peut-être plus cair ainsi ?

babgeo
Salut

Pour le dénominateur :

$27cos(\frac{4\pi}{17})- 27\times i\times {sin(\frac{4\pi}{17})$

J'ai ajouté un i (c'est bien ça ?)

=

$27 \times [cos(\frac{4\pi}{17})- i.sin(\frac{4\pi}{17})]$

=

$27 \times [cos(\frac{-4\pi}{17})+ i.sin(\frac{-4\pi}{17})]$

car cos(-Θ) = cos(Θ) et sin(-Θ) = -sin(Θ)

D'où la réponse de Gilbert13 : "Le dénominateur est le nombre complexe de module 27 et d'argument -4*pi/27"

Peut-être plus cair ainsi ?

Ainsi, cela me parait plus clair effectivement! (mais le sinus n'est pas accompagné d'un i)

Merci! A Gilbert et a toi!

si tu es sûr de chez sûr que le sinus n'est pas accompagné d'un i alors ce que nous avons dit ( et que j'ai dit, je le reconnait) est faux.

| Z| =( norme du numérateur ) / (le dénominateur tel quel qui n'est pas tellement simplifiable)

bravo bravo au métallo qui se remet aux maths pour aider ses enfants ! C'est pas facile et très courageux ! S'il a besoin d'aide... nous sommes là.

Ah ...

S'il n'y a pas de i, le dénominateur est ... un réel.

Son module est donc |$27cos(\frac{4\pi}{17})- 27{sin(\frac{4\pi}{17})$|

cad sa propre valeur absolue car z réel, z=x+0i |z|=√x²=|x|

Par contre pour le numérateur, j'ai un doute.

Takakoa
Si je ne m'abuse, $i^{45 783}=1$ , ce qui donne au dessus 1+3i tout simplement.

45 783 = 4 × 11 445 + 3

Or $i^{4p+3}$ = -i avec p naturel

ce qui donne au numérateur 3 - i qui a le même module, mais ...

Le module de z est le rapport des modules donx √10 / (27×|cos(4 $p i$ /17)-sin(4 $p i$ /17)|)

qui se simplifie peut-être ...

Oh pardon Gilbert. Je n'ai pas vu ta réponse pdt que je répondais de mon coté.

Merci pour la proposition, sympa ... j'aurais grand besoin de votre aide effectivement

Très bien ce forum !! Félicitations aux intervenants ...

babgeo
Ah ...