DM TS : Complexes/Fonctions (Equation du 3e degré)

Bonjour,

J'ai un devoir maison à faire pour vendredi et je bloque sur ces questions, peut-être une fois résolues je pourrais faire le reste ^^.
Alors voici les questions :

On considére l'équation (E2) : x³ - 6x - 6 = 0 d'inconnue réelle x.
Etudier les variations de f définie par f(x)= x³ - 6X - 6 et en déduire que l'équation (E2) admet une seule solution dans l'intervalle [2;3].

Pour la premiere partie, j'ai dérivé f(x) et fait le tableau de variation que me donne , f(x) croissante sur ] - l'infinie; - √2] et sur [√2; + l'infinie [ et décroissante sur [- √2; √2]., mais cest pour la 2eme partie que je ne sais pas comment faire? J'ai éssayé de conjecturer avec le graphique, mais ce n'est pas précis..

De plus, on me demande aprés, Démontrer que si u et v sont 2 réels tels que u³ + v³ = 6 et uv=2 alors u+v est solution l'équation (E2).

Alors j'ai éssayé de faire un systeme avec ces deux equations mais je reste bloqué...

Pourriez-vous m'aider s'il vous plait. Merci d'avance.
Loris

salut

graphiquement, on te demande juste si la courbe coupe l'intervalle [2;3] en un seul point.

essaie donc de calculer f(u+v) en développant.

tu n'as pas donné l'équation (E2), même si on peut la retrouver.

@+

Si, (E2) : x³ - 6x - 6 = 0 et alors la question ne demande pas la valeur de x pour laquelle f(x)=0 ?

et pour calculer f(u+v) il faut connaitre u et v ? cest ca que je comprends pas trés bien ...

Merci beaucoup

ok pour E2 j'avais pas vu

pour ta question : nonon, tu calcules sans connaître u ni v, tu exprimes f(u+v) en fonction de u et v, ok

@ toi !

donc f(u+v) = (u+v)³ - 6(u+v) - 6

et pour le (u+v)³, je decompose en (u+v)²(u+v) ?

comme tu veux : tu développes (tu as aussi le droit de savoir l'identité permettant de développer (u+v)³...)

vas-y !

oulala, en utilisant (u+v)²(u+v) j'arrive à f(u+v) = 3u²v + 3uv² - 6u - 6v ... ?
je vais essayer avec l'identité remarquable (a+b)³=a³ + 2a²b + 2ab² + b³ ^^

[identité fausse - NdZ]

oui ce sera mieux en effet

avec l'identité remarquable je trouve f(u+v) = 2u²v + 2uv² - 6u - 6v, donc je suis pas sure ? Laquelle est la bonne?

non : il doit y avoir des cubes avant de simplifier.

alors doucement ! déjà :

(u+v)³ = u³ + v³ + ...

à toi

je ne comprends ton début ?...

pour partir sur les mêmes bases je te demande de me montrer comment tu développes (u+v)³. puis on verra pour f(u+v).

si je détaille mon calcul ca fait :

f(u+v) = (u+v)³ - 6(u+v) - 6
= u³ + 2u²v + 2uv² + v³ - 6u - 6v - 6

non : tu n'as pas le bon coefficient sur les produits mixtes : c'est 3u²v + 3uv².

j'ai indiqué une erreur dans un de tes posts au-dessus.

Donc, f(u+v) = 3u²v + 3uv² - 6u - 6v ?

mais à la fin, que fais tu des u³ et v³ ???

Et bien je les simplifie avec le -6, puisque u³+v³= 6

je sais bien qu'il faut le faire, mais tâche de travailler pas-à-pas, puisque tu n'expliques rien.

et comment utilises-tu l'info sur le produit uv ?

Ben justement cest là que je ne sais pas puisque soit u soit v est au carré ?

Merci et à demain maintenant bonne soirée et bonne nuit

pars plutôt de

f(u+v) = 3u²v + 3uv² - 6(u+v)

dans lequel tu factorises 3u²v + 3uv² par ce qui est en commun.

et là tout s'éclairera !

J'ai eu un déclic hier soir et j'ai décomposé 3u²v + 3uv² en 3×u×u×v + 3×u×v×v donc aprés ca se simplifie et je trouve f(u+v) = O ^^ merci beaucoup en tout cas pour ton aide et ta patience.

Loris

hé oui parce que 3u²v + 3uv² = 3uv(u+v)
or uv = 2
et ainsi 3u²v + 3uv = 6(u+v)
qui s'annule avec le - 6(u+v) qui restait.

c'est super que tu aies eu cette illumination nocturne ; ça arrive souvent en math.

@+

Par contre, j'aurai encore besoin d'une petite piste pour la question suivante qui est : Démontrer que si u³ et v³ existent, alors ils sont solutions de l'équation (E3) : X² - 6X + 8 = 0. Toujours en sachant que uv = 2 et u³+v³=6.

Merci encore, Loris.

ok

alors pose u³ = a et v³ = b

tu as alors a + b = 6 et ab = 8

il s'agit alors de trouver deux nombres (a et b) inconnus à somme et produit fixés.

je te laisse finir (sachant qu'il y a une fiche à ce propos sur le site.

Alors pour cette question, il faut que je trouve les valeurs de a et b ? ou faut juste que je demontre qu'ils sont solutions de l'équation ?

au pied de la lettre, l'énoncé demande juste de faire le lien entre les deux conditions et l'équation, pas de la résoudre.

mais tu peux toujours essayer, c'est très formateur.

Okay ^^ et la fiche se trouve dans la partie cours de TS ? parce que j'ai regardé un peu mais je n'ai pas trouvé, merci.

ah non cest bon j'ai trouvé merci beaucoup !

En regardant la methode, j'ai juste un petit probleme , quand on pose a = u³ et b=v³ , ok pour a+b=6 mais cest pour le ab=8 que je comprends pas, parce que , uv=2 mais estce que u³v³=(uv)³ ?

Merci

Avec la méthode des nombres à somme et produit connus, je finis par trouver, u³=2 et v³=4, qui st bien solutions, car j'ai fait la vérification. Mais j'ai encore un petit doute sur le debut de l'intituler qui dit Demontrer que si u³ et v³ existent ? Comment savoir s'ils existent ou non ?

Merci beaucoup.
Loris