Limites de fonction (2)



  • Bonjour !

    J'ai une fonction

    f(x)=(ax²+bx+x-1)/(x-1)

    1. On suppose que x>1. Je dois étudier la limite de f quand x tend vers +∞
      Puis quand x tend vers 1,* en discutant suivant les valeurs de a et b.* (qui n'est pas noté pour la premiere partie de la question)

    Donc je ne comprends pas si je ne discute pas suivant les valeurs de a et b, je n'aurais pas les même limites !

    Sinon la je commence :

    lim ax³+bx².x-1 = lim ax³ quand x tend vers +∞ soit -∞
    x→+∞
    a<0

    Si a>0 ca tend vers +∞

    Après bah j'ai pas pu faire... encore 😄

    1. Cette fois x<1. je dois etudier lalimite de f quand x tend vers -∞
      puis lorsque x tend vers 1.

    Donc je dois de toute manière faire les limites en discutant suivant les valeurs de a et b ?



  • Bah alors personne peut m'aider ? 😕 Dsl pr le multi poste mais bon...



  • Bonjour,

    Indétermination du genre "∞/∞" , pour la lever :

    • mettre au numérateur et au dénominateur le terme de plus haut degré , simplifier , regarder ce que cela donne

    ou

    • utiliser le théorème qui dit : une fraction rationnelle , se comporte à l(infii comme le quotient des termes de plus haut degré !

    en 1 , pas de souci sauf quand 1 est racine du numérateur !



  • Donc en simplifiant :

    jai

    lim f(x) = lim ax = +infini
    x->+infini

    Si a<0
    lim f(x) = -infini
    x->+infini

    et si a>0
    lim f(x) = +infini
    x->+infini

    Et pour le 1, j'ai pas bien compris



  • RAH j'me suis trompé dans l'ennoncé !!

    la fonction f est : (ax³+bx²+x-1)/(x-1)

    Désolée !!



  • Ca change rien pr la premiere limite, sauf que cest la limite de ax².

    Pour la limite tend vers 1:

    lim f(x) = lim (a+b)/0- = +∞
    x->1+
    a+b<0

    je raisonne bien ?



  • sauf que moi j'écrirais ,

    Dans le cas où a + b négatif, on a : limx1+f(x),=,\lim_{x\rightarrow 1^+} f(x),=,-\infty

    Dans le cas où a + b >0 , on a : limx1+f(x),=,+\lim_{x\rightarrow 1^+} f(x),=,+\infty

    Le signe de a+b n'a rien à faire dans l'écriture abrégée de la limite , personne ne t'empêche de préciser avant que tu étudies les 2 cas

    Je pense qu'il faut aussi étudier le cas où a+b = 0



  • D'accord, merci pr l'info lol !

    Alors le cas ou a+b=0 :

    Bah je factorise :

    f(x)=(ax+b+1-1/x)/(1-1/x)

    MAis je comprends pas parceque je tombe sur 0/0 quoi qu'il arrive ?



  • Up 😕 :frowning2:



  • Re-salut,

    f(x)= (ax³+bx²+x-1) / (x-1)

    1. On suppose que x>1. On cherche la limite de la fonction au voisinage de 1.

    lim ax³+bx²+x-1 = a+b
    x→1

    lim x-1 = 0+ (et non pas 0- comme tu as note le 13 à 19:50)
    x→1
    x>1

    donc

    lim f(x) est de la forme (a+b) / 0+
    x→1
    x>1

    d’où les limites indiquées par Zorro post ci-dessus pour a+b>0 et a+b<0.

    Effectivement, si a+b = 0 la limite est finie cette fois

    Si a+b = 0 alors b = -a

    f(x)= (ax³-ax²+x-1) / (x-1)

    On constate que 1 est racine du numérateur, on peut donc le factoriser par (x-1). Il existe alors 3 réels a’, b’ et c’ tels que :

    ax³-ax²+x-1 = (x-1) (a’x²+b’x+c’)

    Je te laisse résoudre cela (trouver a’ b’ et c’), ça te permettra de simplifier f(x) et d’aboutir (sauf erreur de ma part) à :

    Dans ce cas f(x) = ax²+1

    D’où

    lim f(x) = a+1
    x→1
    x>1

    J’admets que cette partie n’est pas si facile.

    Pour le 2) avec x<1, je n’ai pas regardé, c’est prblt la même méthode.

    Encore une fois, vérifie en traçant à la calculette les différents cas.

    Si ce n'est pas trop tard...



  • Alors je remet tout :

    f(x)= (ax³+bx²+x-1) / (x-1)

    1. On suppose que x>1. On cherche la limite de la fonction au voisinage de 1.

    lim ax³+bx²+x-1 = a+b
    x→1

    lim x-1 = 0+
    x→1
    x>1

    donc

    lim f(x) est de la forme (a+b) / 0+
    x→1
    x>1

    d’où :

    Si a+b<0
    lim f(x) = -∞
    x→1
    x>1

    Si a+b>0
    lim f(x) = +∞
    x→1
    x>1

    2)On suppose que x<1. On cherche la limite de la fonction au voisinage de 1

    lim x-1 = 0-
    x→1
    x<1

    donc

    lim f(x) est de la forme (a+b) / 0-
    x→1
    x<1

    d’où

    Si a+b<0

    lim f(x) = -∞
    x→1
    x<1

    Si a+b>0

    lim f(x) = +∞
    x→1
    x<1

    Effectivement, si a+b = 0 la limite est finie cette fois

    Si a+b = 0 alors b = -a

    f(x)= (ax³-bx²+x-1) / (x-1)

    On constate que 1 est racine du numérateur, on peut donc le factoriser par (x-1). Il existe alors 3 réels a’, b’ et c’ tels que :

    ax³-bx²+x-1 = (x-1) (a’x²+b’x+c’)
    ax³-bx²+x-1=a’x³+b’x²+c’x-a’x²-b’x-c’
    ax³-bx²+x-1=a’x³+x²(b’-a’)+x(c’-b’)-c’

    On a donc le système :
    a=a'
    -b=b'-a'
    1=c'-b'
    -1=-c'

    Donc
    c’=1
    b’=0
    a’=b
    a=a’
    soit a=b

    après je suis perdue ! Pour retrouver :

    Dans ce cas f(x) = ax²+1

    D’où

    lim f(x) = a+1
    x→1
    x>1



  • Salut,

    Copier-coller + corrections

    1. On suppose que x<1. On cherche la limite de la fonction au voisinage de 1

    lim x-1 = 0-
    x→1
    x<1

    donc

    lim f(x) est de la forme (a+b) / 0-
    x→1
    x<1

    d’où

    Si a+b<0

    lim f(x) = +∞ <---- Correction signe ! -/-
    x→1
    x<1

    Si a+b>0

    lim f(x) = -∞ <---- Correction signe ! +/-
    x→1
    x<1

    Si a+b = 0 alors b = -a l’expression de f devient :

    f(x)= (ax³-ax²+x-1) / (x-1)

    1 est racine du numérateur, on peut donc le factoriser par (x-1) et on obtient : f(x) = ax²+1

    D’où

    lim f(x) = lim (ax²+1) = a+1
    x→1
    x>1


    Alors dans le détail de la dernière partie :

    Tu sais que si a+b = 0 l’expression de f devient :

    f(x)= (ax³-ax²+x-1) / (x-1)

    Donc tu ne résous pas : ax³-bx²+x-1 = (x-1) (a’x²+b’x+c’)

    Mais :

    ax³-ax²+x-1 = (x-1) (a’x²+b’x+c’) en utilisant b = -a

    après dvlpt :

    a = a’
    -a = b’-a’
    1 = c’-b’
    -1 = -c’

    soit

    a’ = a
    b’ = 0
    c’ = 1

    et f(x)= [(x-1)(ax²+0x+1)] / (x-1)

    en simplifiant par (x-1) :
    f(x) = ax²+1



  • Ok merci ! J'crois que j'ai tout compris !

    Vraiment merci !



  • MsVixene
    ... J'crois que j'ai tout compris !

    C'est l'important !



  • Oui merci !


 

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