récurrence terminale S

bonsoir j'ai un exo de dm sur la récurrence et j'ai un peu de mal avec ça.

Alors voilà l'exo:

Pour tout entier naturel n on pose Sn= (1/(123)) + (1/(234)) + ..... + 1/ [(n(n+1)(n+2)]
Etablir par récurrence : pour tout n appartenant à N* Sn= [n(n+3)]/ (4(n+1)(n+2) ]

alors j'ai réussi l'étape de l'initialisation mais quelle galére pour l'hérédité!

alors voilà ce que j'ai pour l'hérédité:

k appartient à N* je suppose que P(k) est vraie.

(1/(234)) + ..... + 1/ [(k(k+1)(k+2)] = [k(k+3)]/ (4(k+1)(k+2) ]

je sais que je dois montrer que
(1/(234)) + ..... + 1/ [(k+1)(k+1+1)(k+1+2)] =[(k+1)(k+3)]/ (4(k+1+1)(k+1+2) ]

J'ai donc ajouté à (1/(234)) + ..... + 1/ [(k(k+1)(k+2)] = [k(k+3)]/ (4(k+1)(k+2) ]
de chaque coté 1/ [(k+1)(k+2)(k+3)]

je réduis au même dénominateur j'obtiens :

[ k(k+1)(k+4)k+1)(k+2)(k+3)+4(k+2)(k+3)] / [4(k+2)(k+3)(k+1)(k+2)k+3) ]

mais je fais quoi avec tout ça si je développe tout le numérateur ça me donne un truc hyper long avec lequel je parviens pas à prouver ce que je veux!
merci

Bonjour

j'ai un peu de mal à suivre ton raisonenment !

On part de l'hypothèse que

S = (1/(234)) + ..... + 1/ [(k(k+1)(k+2)] = [k(k+3)]/ (4(k+1)(k+2) ]

Et on veut en savoir plus sur S' = (1/(234)) + ..... + 1/ [(k+1)(k+1+1)(k+1+2)]

S' = (1/(234)) + ..... + 1/ [(k(k+1)(k+2)] + 1/ [(k+1)(k+2)(k+3)]

S' = S + 1/ [(k+1)(k+1+1)(k+1+2)] = S + 1/ [(k+1)(k+2)(k+3)]

S' = [k(k+3)]/ (4(k+1)(k+2) ] + 1/ [(k+1)(k+2)(k+3)]

En mettant au même dénominateur tu devrais arriver à ce que tu veux

[(k+1)(k+4)]/ (4(k+2)(k+3) ]