somme de puissance et de p parmi n

bonjour bonjour,
j'ai un petit souci avec un exo de dm donc si vous aviez quelques proposition a me faire ca m'aiderait pas mal ^^

voici l'enoncé A= $k)\sum_{\begin{cases} & \text{ } k =0\ & \text{ }k\ pair \end{cases}}^{n}{(-1)^{k/2}\begin{pmatrix} n\ k \end{pmatrix}}$ et B= $k)\sum_{\begin{cases} & \text{ } k =0\ & \text{ }k\ impair \end{cases}}^{n}{(-1)^{(k-1)/2}\begin{pmatrix} n\ k \end{pmatrix}}$

et les questions sont

ecrivez $1+i)^n$ sous forme trigonometrique et sous forme algebrique
(celle la c'est fait)
en deduire les valeurs de A,B, $A$ ^2 $B^2$ (la évidement ca coince un peu ^^)

merci d'avance

Salut darkontes,

Je n'ai pas fait l'exercice mais mon petit doigt - et aussi un peu d'expérience - me dit que tu pourras déterminer A et B en fonction de la partie réelle et imaginaire de $1+i)^n$ .

Tu as bien utilisé la formule du binôme de Pascal pour trouver la forme algébrique ?

j'ai du $k)\sum_{k=0}^{n}{i^{n-k}1^k\begin{pmatrix} n\ k \end{pmatrix}}$ =(1+i)^n
mais j'avoue ne pas savoir quoi en faire, j'arrive pas a le lier a A et B et A^2+B^2

$i$ ^{n-k} $1^k$ =±1 ou ±i

Il faut réfléchir aux valeurs de k (pair ou impair notamment) pour connaître sa valeur pour pouvoir séparer partie réelle et partie imaginaire pour véritablement donner la forme algébrique.

en fait je c'est a cause du k pair et impair separés

je suis d'accord on sent que A et B sont les parties reelle et imaginaires (a cause de la puissance du i qui tourne 1,i,-1,-i ...

et A^2+B^2 ca doit etre le module
mais j'arrive pas a le montrer

je regarde ca tout de suite
je vais re-essayer peut etre en sommant a et ib pour voir si ca marche

k∈ $mathbb{Z}$
$i^{4k}$ =1
$i^{4k+1}$ =i
$i^{4k+2}$ =-1
$i^{4k+3}$ =-i

Ca demande du temps et de la réflexion pour en venir à bout ... Courage !

Oui, A²+B² sera sans doute le module au carré que tu auras facilement grâce à la forme exponentielle.

je regarde, et c'est vrai que ecrit comme ca, ca m'eclaire beaucoup ^^ merci

la je vois bien que quand on a k≡ 0 [4]on a i^k=1et on est dans A
k≡ 1 [4]on a i^k=i et on est dans B en factorisant par i
k≡ 2 [4]on a i^k=-1et on est dans A
k≡ 3 [4]on a i^k=-i et on est dans B en factorisant par i
mais ca n'empeche que je ne vois vraiment pas comment expliquer ca (de façon rigoureuse et mathematique c'est un peu plus dur ^^)

Thierry
k∈ $mathbb{Z}$
$i^{4k}$ =1
$i^{4k+1}$ =i
$i^{4k+2}$ =-1
$i^{4k+3}$ =-i
Tu n'as pas à expliquer cela qui est censé être un résultat connu de terminale.

Sinon par exemple (et pour ta culture)
$i$ ^{4k+1} $= (i$ ^4 $^k$ ×i

je crois que ca y est je vois comment rediger ca

en passant par la derniere formule du message precedent j'ecris que si k est pair il peut s'ecrire de la forme 4q ou 4q+2 et la somme de ces termes c'est A et si k est impair il peut s'ecrire 4q+1 ou 4q+3 je mets i en facteur et je dis que la somme c'est b
et la c'est bon

bon apres faut que je l'ecrive correctement mais grace a toi j'ai compris comment m'y prendre
MERCIIIII

(mais quand meme je suis bien content qu'il ne soit que facultatif ^^)