Exo TS : équation du 3eme degrés.

Bonjour,

alors voilà, j'ai un exercice à faire et je bloque sur une question. On me demande Démontrer que si u³ et v³ existent, alors ils sont solutions de l'équation (E3) : X²- 6X + 8 =O. J'ai éssayé de faire avec la méthode de deux nombres à somme et produit connus (grace à Zauctore), mais mon prof m'a dit que ce n'était pas la peine, que je pouvais le faire avec les identités remarquables ... seulement je n'arrive pas à trouver comment y arriver ?
Et de plus je ne comprends pas le debut de la question qui demandent "Démontrer que si u³ et v³ existent", comment savoir s'ils existent ou non ?
Pour résoudre cette question, sachez que u³+v³ = 6 et uv=2.

Merci beaucoup d'avance.

Loris

ok, c'est la suite de cette discussion.

ce qu'il voulait dire ton prof, c'est que tu peux fabriquer l'équation sans connaissance "spéciale" (lol : former l'éq. à somme et pdt fixés est devenu spécial - limite spécieux !) avec a et b tels que ab = p et a+b = s de cette façon (cf notations de la dernière fois) :

pars de a+b = s

multiplie tout par a

qu'obtiens-tu en définitive ?

comment savoir si de tels nombres existent ? c'est un autre problème (ce ne sont pas forcément des réels). de tels réels existent ssi l'équation dont on te parle admet des solutions réelles.

dans cet exo on te demande une implication simple.

voilà. ai-je répondu à tes questions ?

Je ne comprends pas le 1. En multipliant tout par a, j'arrive a a² + ab = sa, mais c'est toujours ac le principe déjà énoncé, et lorsque je lui ai demandé, il l'a dit d'essayer avec les identités remarquables, telles que a³+b³ = (a+b)(a²-ab+v²) ou (a+b)³= a³ + 3a²b + 3ab² + b³ ...

Merci.

Salut,

Je ne vois pas ce que tu veux faire avec les id remarquables.

On sait que u et v sont deux réels tels que : u³+v³ = 6 et uv=2.

On en déduit que u et v sont non nuls car uv≠0, donc v=2/u

En remplaçant v par 2/u dans l'équation u³+v³ = 6 tu obtiendras également l'équation souhaitée : (u³)² -6u³ + 8=0 u³est donc solution de E3.

idem pour v, les équaltions u³+v³ = 6 et uv=2 étant symétriques.

--- il y a plusieurs méthodes, celle de Zauctore est plus rapide et plus "propre" (moins de calculs). A toi de voir.

ah d'accord ! Merci beaucoup

Et une fois ceci démontré, pour déterminer u³ et v³, on résoud X²-6X+8=0 et on remplace x1 par u³ et x2 par v³ ?

Merci.

oui. si ton énoncé te demande de trouver la solution de la cubique, alors il faudra revenir à u et v pour calculer u+v.

rq : la méthode employée vise à trouver une solution particulière de la cubique.

Je n'ai pas tout à fait compris ta réponse, pourquoi doit-on revenir à u et v ?
En tout cas, j'ai résolu l'équation et je trouve, x1= 2 et x2=4 donc, u³=2 et v³=4 ainsi, u=2 ^ (1/3) et v=4 ^ (1/3) ? c'est pour ca que tu disais de revenir à u et v ? Parce qu'aprés il demande l'unique solution de X³-6X-6=0, qui est, je pense, u+v ?

bien, par la racine... cubique ! comme tu l'as fait avec tes exposants 1/3.

l'unique sol, ça je ne sais pas j'ai pas vu la courbe, mais oui, c'est u+v qui est une solution de E2.

dsl pour le manque éventuel de clarté.

Pas de pb pour la clarté, j'vous remercie enormement toi et babgeo, j'ai finalement reussi la fin de cette partie DM Encore merci.

A bientôt. Loris

un lien pour aller plus loin, si tu veux : http://www.mathforu.com/cours-44.html

bonne continuation !