calculs d'intégrales


  • Thierry
    Modérateurs

    Salut les mathforeurs,

    Comment puis-je m'y prendre pour calculer ces 2 intégrales :

    ∫x2x2+2dx\int \frac{x^2}{\sqrt{x^2+2}}dxx2+2x2dx

    et

    ∫1xln⁡(x+a)dx\int \frac{1}{x}\ln (x+a)dxx1ln(x+a)dx

    Merci d'avance ...


  • Zauctore

    Ouais, merci l'Editeur LaTeX !

    ah juste un truc ! on code généralement le d de dx en droit, par contre le x est en style math. plus un petit , entre l'intégrande et le dx.

    ça c'est mon côté à pas laisser les mouches tranquilles en LaTeX.

    sinon, j'ai pas trop d'idée sur tes \int. faudrait regarder de plus près.

    @+ T


  • Zauctore

    par une ipp on se ramène sauf erreur à devoir calculer pour la 1re

    ∫u2+1;du\int \sqrt{u^2 + 1} ;\text{d}uu2+1;du

    ça te rappelle quelque chose ?


  • Thierry
    Modérateurs

    ∫u2+2;du\int \sqrt{u^2 + \mathbf{2}} ;\text{d}uu2+2;du veux-tu dire ?

    Ce qui nous éloigne peut-être d'une solution potentielle ....


  • Zauctore

    non, avec un cdv tu peux obtenir un "1", je t'assure.

    j'ai regardé un peu dans le dixmier" - ça semble se faire avec un Argsh mais j'ai plus trop de souvenirs de ce côté-là.

    je me rappelais juste avoir vu ce genre d'intégrande à un moment ou un autre en quoi... sup ou spé peut-être ?


  • M

    Bonjour,
    Dans √(u²+2) on commence à mettre √2 en facteur
    On pose x = y√2
    On obtient bien une primitive en Argsh y


  • Zauctore

    oui.

    une question en passant : pour mq Argsh (y) est en fait un logarithme (de y + sqrt(y²+1)) peut-on faire autrement qu'en revenant aux espo et aux formules de trigo hyperbolique ?
    n'existe-t-il pas une démarche pour prouver cela autre qu'en passant par des cdv ?

    par contre, pour la 2e je subodore qqch de pas commode du tout.


  • Thierry
    Modérateurs

    Sur le web, je lis que la dérivée de argsh(x) est 1/√(x²+1) ce qui n'est pas la même chose que √(x²+1)

    Ou je me trompe ?

    (Je suis vraiment l'élève dans ce post : je ne me souviens pas avoir jamais vu ces fonctions ....)


  • M

    Hélas non.
    Désolé pour la confusion.
    Pour le calcul d'une primitive de √(x²+1) on pose x = sh t et on est ramené à des exponentielles.
    Il est alors inutile de faire une intégration par parties :
    Poser dès le départ x = y√2
    Puis y = sh t.
    Est-ce que ça marche ?


  • M

    Citation
    Pour le calcul d'une primitive de √(x²+1) on pose x = sh t et on est ramené à des exponentielles.
    Ou plus simple : avec ch 2t


  • Zauctore

    ok mathtous.
    ça m'ennuie un peu de ne pas avoir un "truc" évitant de passer par les Arg (j'aurais voulu une astuce pour arriver au ln "directement").

    thierry : avec un cdv tu dois passer de l'une à l'autre.


  • Thierry
    Modérateurs

    Alors en posant x=y√2 et y=sh(t)

    ∫x2x2+2.dx=2∫y2y2+1.dy=2∫sinh⁡2tsinh⁡2t+1cosh⁡t.dt=2∫sinh⁡2t.dt\int \frac{x^2}{\sqrt{x^2+2}}.dx = 2\int \frac{y^2}{\sqrt{y^2+1}}.dy=2\int \frac{\sinh^2{t}}{\sqrt{\sinh^2{t}+1}}\cosh{t}.dt=2\int \sinh^2{t}.dtx2+2x2.dx=2y2+1y2.dy=2sinh2t+1sinh2tcosht.dt=2sinh2t.dt !

    que l'on finit par calculer en remplaçant sh(t) par les fonctions exponentielles 😄

    Une idée pour la seconde ?


  • Zauctore

    encore ipp, non ? mais il va rester une "saleté" dans la 2e intégrale...


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