Trinomes : Intersection entre hyperbole et droites

Bonjour,
J'aurai besoin d'aide à propos d'un devoir maison sur les trinomes.

Voici l'énoncé : dans un repère (O;i,j) on note H l'hyperbole d'équation y=1/x et dm la droite d'équation y=2x+m.
A chaque réel m correspond une droite dm.

J'ai démontré que les toutes les droites dm sont parallèles en disant qu'elles ont le même coeff directeur. Il me reste à démontrer que pour tout réel m, dm coupe H en deux points distincts M et N.

Merci d'avance

Bonjour,
Résous l'équation en x traduisant l'intersection de H et Dm.
C'est une équation du second degré : montre qu'elle a toujours des racines distinctes.

OK
Alors ça fait : $1x=2x+m\frac{1}{x}=2x+m$

1=2x²+mx
2x²+mx-1=0
C'est bien ça?

Oui, pour x ≠ 0,
et il faut maintenant démontrer que cette équation admet toujours des solutions, que ces solutions sont distinctes, et qu'elles sont non nulles ( puisque x≠ 0 s'impose ).

Je ne trouve que ces solutions qui me paraissent fausses :
x1= $−m+(m+racinede8)4\frac{-m+(m+racine de 8)}{4}$
x2= $−m−(m+racinede8)4\frac{-m-(m+racine de 8)}{4}$

En effet, elles sont fausses.
Mais on ne te demande pas de les calculer : seulement de montrer qu'ellles existent.
Que vaut le discriminant ?

Le discriminant est égal à Δ=m²+8

Oui
Quel est son signe ?
Peut-il être nul ?

Il est positif car un carré est toujours positif et ne peut pas être nul.

Il est positif non nul, donc l'équation admet deux racines distinctes.
Reste à vérifier que 0 ( exclu ) n'est pas racine.

f(x)=2×0+m×0-1
=-1
-1≠0

f(0), pas f(x) ( encore faudrait-il définir f ).
Donc l'équation 2x²+mx-1=0 admet deux racines distinctes et non nulles ( en x) , et en remplaçant dans y = 2x+m, on trouve deux valeurs correspondantes pour y .
Par suite, la droite Dm et l'hyperbole se coupent toujours en deux points distincts.
Fais un dessin pour visualiser ce résultat.

OK merci beaucoup

De rien
A+

Encore une question : comment faire pour calculerles coordonnées de I( milieu de [MN] ) en fonction de m?

Quelle est l'abscisse du point I en fonction de celles de M et N ?

$xm+xn2\frac{xm+xn}{2}$

Oui, et n'oublie pas que xM et xN sont les racines de l'équation
2x² + mx - 1 = 0
Tu sais calculer la
sommedes racines ( sans calculer ces racines ) .

Mais comment?

Regarde dans ton cours : tu as des formules donnant la somme et le produit des racines d'une équation du second degré.

Je ne les ai pas trouvé.

Dans ce cas, calcule xM et xN

-m±√8/4

Non : le discriminant vaut m² + 8, pas 8.
Donc xM = [-m + √(m²+8)]/4
et xN = [-m - √(m²+8)]/4
Attention aux priorités opératoires.
Maintenant, tu peux calculer xM+xN : ça s'arrange bien.

Alors ça fait -2m/4, c'est bien ça?

Oui : -2m/4 = -m/2 ( simplifie ).
Tu aurais pu savoir que pour une équation de la forme ax² + bx + c=0, la somme des racines vaut -b/a

Maintenant que tu as xM+xN, tu peux calculer XI = (xM + xN)/2, puis yI en remplaçant dans l'équation de Dm.

Ce qui donne (-m/2)/2 = -2m/2

Non : c'est du niveau quatrième!
(-m/2)/2 = (-m/2)*(1/2) = ??

OK :rolling_eyes:

Alors xI = ?
et ensuite yI = ?

xI=-m/4
yI=m/8

Oui pour xI
Mais pour yI, remplace dans l'équation de Dm :
yI = 2xI + m = ??
Je crains que tu aies encore confondu multiplication et division.

yI=-2m/4

Non
yI = 2xI + m
= 2(-m/4) + m
= -2m/4

m
= -m/2 + m
= -m/2 + 2m/2
= m/2

Que remarques-tu entre xI et yI ? Exprime yI en fonction de xI

Merci beaucoup

C'est déjà fait.
xI = -m/4 , et yI = m/2
Calcule -2*xI = ??

=m/2

C'est-à-dire yI
Donc yI = -2xI
Tous les points I sont situés sur la droite d'équation Y = -2X
Vérifie sur le dessin .

Ok merci beaucoup

De rien
A+