exo spé : divisibilité

Bonjour,

J'ai un problème de spé maths à résoudre, j'ai trouvé une égalité mais je ne suis vraiment pas sûre qu'elle soit juste et encore moins comment la résoudre.

voici le sujet : "Une voiture a une plaque d'immatriculation très particulière. lorsqu'on ajoute 306 ou 505 à ce nombre, le résultat est le carré d'un entier. quel est ce numéro d'immatriculation ? "

Je sais ce qu'est un carré parfait et j'ai trouvé l'égalité suivante : $x+306=x+505\sqrt{x+306} = \sqrt{x+ 505}$
avec x le numéro de la plaque d'immatriculation.

Voila, quelqu'un pourrait-il m'aider svp

merci beaucoup

Bon jour,
Ton équation est évidemment fausse : on obtient le carré d'un entier, mais ça ne peut pas être le même entier ( car sinon 306 serait égal à 505 )

vous auriez pas une idée pour m'aider à résoudre cet exo svp ?

Note n et p les deux nombres ( entiers positifs ) dont on trouve les carrés.
ainsi, x + 306 = n² et x + 505 = p².
n et p ne sont pas égaux : quel est le plus grand ?

le plus grand c'est p², nan ?

p² > n² donc p > n ( ce sont des nombres positifs ).
Calcule p² - n²

p²-n² = 199

Parfait.
Maintenant factorise les deux membres de cette égalité.

p²-n² = (p+n)(p-n)=199

Factorise
aussi199 : 199 = ? * ??

199 = 1 * 199 (c'est un nombre premier)

Donc : (p+n)(p-n) = 1 * 199
Deux facteurs d'un côté, deux de l'autre.
D'où ??

??

Est-il possible que p-n = 1 ?
Est-il possible que p-n = 199 ?
Est-il possible que p-n vaille autre chose que 1 ou 199 ?
p-n est un diviseur de 199 qui est premier, donc ...

désolé mais je ne comprends pas tout là.

il est possible que p-n =1 (si p+n = 199)
il est possible que p-n = 199 (si p+n =1)
c'est pas possible que p-n vaille autre chose que 1 ou 199

j'ai peut être trouvé quelque chose :
soit : p-n=1 et p+n =199
ou soit : p-n=199 et p+n =1

c'est ça ?

p-n est un diviseur de 199 qui est premier.
Donc ou bien p-n = 1 ( et alors p+n = 199)
ou bien p-n = 199 ( et alors p+n = 1).
Or, p-n est plus petit que p+n, donc la seule possibilité est : ??

oui c'est ce que j'ai mis plus haut (juste avant)

et donc en résolvant mes deux systèmes je trouve n= 99 et p=100

D'où au final quand je réutilise x+306=n² et x+505 = p² je trouve que x=9 495 qui est donc le numéro de la plaque d'immatriculation (mais par contre c'est pas un carré parfait on dirait)

Ta réponse ( x = 9495 ) est juste.
Et il n'y a aucune contradiction : ce n'est pas 9495 qui doit être un carré parfait : c'est 9495 + 306 ainsi que 9495 + 505, et c'est bien le cas.

ah oui exact.

merci beaucoup mathtous !!

bonne journée !

De rien
A+