Démonstration par récurrence



  • Bonjour, Alors voila de je rame sur cet exercice de mon DM que je dois malheuresement rendre demain. Ne pouvant pas trop compter sur mes camarades, je vous demande votre aide. Merci d'avance.

    P est la fonction polynome défini sur R par: P(x)=(Xcube/3)-(xcarré/2)+(x/6)
    1-Calculer pour tout réel, P(x+1)-P(x).
    2-Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, P(n) appartient à N.
    3-Démontrer que pour tout entier naturel n
    a) La somme des kcarré de 0 à n = (n(n+1)(2n+1))+6
    b) n(n+1)(2n+1) est un multiple de 6.

    je trouve

    P(x+1)= (2xcube+3xcarré+x)/6

    P(x+1)-P(x)= 3xcarré c'est juste?



  • Ça y est j'ai retrouvé le x carré.

    Par contre comment démontrer que P(n) appartient à N?
    Je peut essayer de trouver P(n) supérieur à 0 mais ça n'en fera pas un entier naturel.



  • Bonjour,

    Il doit y avoir une erreur quelque part car je trouve P(x+1) - P(x) = x²

    Au fait pour écrire x³ et x² , regarde un peu sous le cadr de saisie !



  • Pour la démonstration par récurrence :

    1° - Initialisation : on regarde si pour n = 0 la proposition est vraie !

    2° - Hérédité : on suppose que la proposition est vraie pour un n , c'est à dire que pour un ce n , P(n) ∈ mathbbNmathbb{N}

    Avec cette hypothèse et la question précédente , montrons que P(n+1) ∈ mathbbNmathbb{N}



  • P(0)= 0 donc la proposition est vraie pour n=0

    P(n+1)-P(n)=x² ⇔ P(n+1)=x²+P(n)
    comme P(n) ∈ N et que x² ∈ N alors P(n+1) ∈ N

    mais x² appartient toujours à N?



  • En effet mon hypothèse a mal été écrite ,

    Hypothèse de récurrence , soit un entier n tel que P(n) ∈ mathbbNmathbb{N}

    Dans cette partie , il n'y a pas de x ..... P(n+1) - P(n) ne peut pas être égal à x² ....


 

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