La fonction racine carrée

3/4 re bonjour c'est toujours et encore moi avec mon soucis vectoriel ^^

Exercice 3 - La fonction racine carrée

On considère la fonction f définie sur R+ par : f(x) = √x

1.Soit a et b deux nombres réels tels que : 0 ≤ a < b
Démontrer que :
√a - √b = (a - b) / ( √a + √b )

et en déduire que :
√a < √b

2.Que vient-on de démontrer dans la question 1 ?

J'ai essayé pour le 1 de faire √a-√b =( (√a-√b) x (√a-√b) ) / (√a+√b) = (a-b)/√a-√b = √a-√b<0
a < b
√a < √b

Sans conviction et le 2. je n'y arrive pas. Merci par avance.

Salut.

Pareil que dans l'autre topic, rajoute les parenthèses au numérateur.

Bon je ne comprends pas l'intérêt de démontrer l'égalité pour en déduire que. Ce que tu as fait est j'imagine juste, mais tu t'es embrouillé avec les signes en recopiant. Je le récris proprement, vu que tu l'as déjà fait.

$a−b=(a−b)×a+ba+b=a−ba+b\sqrt{a}-\sqrt{b} = (\sqrt{a}-\sqrt{b}) \times \frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}} = \frac{a-b}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}$

Bon, à partir de là, soit tu as vu que la fonction racine carré est croissante, et alors ce qu'on a démontré ne sert à rien, soit on utilise le fait que le dénominateur est forcément positif ou nul, ce qui entraine que la fraction est du même signe que le numérateur, qui lui est négatif ou nul.

Manque de bol, je ne suis pas d'accord avec ce qu'il faut démontrer. a et b peuvent être nuls, donc √(a)≤√(b). A mon avis il y a un des signes "inférieur à" qui n'est pas bien écrit, regarde si tu n'as pas mal recopié.

Ben je crois que j'ai répondu à cette question quelque part plus haut, à toi de trouver. Simplement je n'ai pas effacé ce que j'ai écrit. Maintenant je suis persuadé du bien fondé de l'exercice.

@+

Euh non j'ai juste mis un ≤ entre a et b à la place d'un < mais sinon pour les racines aucune erreur...

Oui je sais bien que tu y as répondu mais je sais plus comment faire juste au niveau de la technique si tu pouvais me la dire.
Merci

ça c'est la technique utilisée en seconde pour montrer qu'une fonction est croissante ou décroissante sur un intervalle I

tu en verras une autre, très bientôt

Ah mais pour la 1 j'ai compris c'est juste la 2 que j'ai du mal à saisir ...

celle là : 2.Que vient-on de démontrer dans la question 1 ?

Qu'est-ce que je viens de te répondre ? Cette méthode permet de savoir si une fonction est .....

Ah pardon je m'emmêle avec les différents exercices pardonne moi je te fais perdre ton temps. Merci pour cet exercice c'est claire merci à vous deux

C'est vrai qu'il est préférable de poser un exo , de le résoudre , puis de passer au suivant !

Bonjour, j'ai enfin assimilé la totalité de mon dm et toutes les notions sont rentrées (enfin). Cependant en relisant ton post Jeet-chris j'ai constaté que tu as mis le dénominateur forcément positif ou nul or on ne peut diviser par 0 donc on prouve que a < b et que √a < √b
Je ne me trompe pas ?

Salut.

Oui tu te trompes. Dans le cas où on a a≤b, il suffit de prendre a=b pour avoir √(a)=√(b) donc √(a)-√(b)=0, ce qui est logique.

Maintenant dire a < b dans les hypothèses, dire ensuite que le dénominateur ne peut être nul (ce qui n'était pas envisageable vu l'hypothèse de toute manière), pour conclure que a < b, c'est un peu inutile.

Pour en revenir à l'histoire du dénominateur nul, ce n'est vrai que si la fraction n'est plus simplifiable. Or ici ça l'est, vu que l'on peut se ramener à √(a)-√(b) qui accepte le cas a=b sans problème.

Autrement dit, tu serais en train de me démontrer que 0 est un chiffre qui n'existe pas. Prenons x (qu'on va fixer nul dans notre exemple) par exemple, vu que x=x²/x et que le dénominateur x ne peut être nul, alors x≠0, d'où l'existence de 0 remise en question. :razz:

Tu n'as pas encore dû voir la notion de "limites" (ça va arriver), mais ça revient simplement au cas dit "indéterminé" de "0/0". x² est nul, x est nul, donc on ne sait pas combien ça fait. Dans ton exercice, c'est pareil. Le numérateur et le dénominateur peuvent être nuls en même temps, donc tu ne sais pas quel va être le résultat.

@+

Oula mais alors j'en conclue par quoi ? Car je dois bien dire quelque chose hihi

Salut.

Qu'est-ce que tu veux conclure ? L'exercice est fini, non ? Le cas inférieur ou égal c'est hors sujet vu que c'est juste un faute de retranscription du sujet.

Le dénominateur est toujours positif, donc la différence des racines est du même signe que la différence du numérateur, c'est-à-dire négatif. Reste à manipuler l'inégalité qui en découle.
On a montré que la fonction racine carrée est croissante.

@+

Mais peut-être que le professeur a fait en sorte que a < b pour justement éviter toute égalité et que √a + √b ne soient pas égales non ?

Salut.

Pas du tout, vu que ça ne pose pas de problème je t'ai dit.

Le but de l'exercice, c'est de montrer que la fonction est strictement croissante. Si on avait fait la démonstration avec le signe inférieur ou égal, on aurait montré que la fonction n'est jamais décroissante, c'est-à-dire au moins constante, voire croissante. Il aurait fallu par la suite distinguer le cas où a = b et le cas a < b pour bien montrer que c'est strictement croissant notre schmilblick (on exploite le signe de la différence : si la différence est positive ou nulle, ben on est embêté pour conclure sans faire la distinction).

@+

Ok ça marche j'ai rendu mon Dm la note la semaine prochaine . Merci à toi et à Zorro c'est un très bon forum j'espère ne pas trop être paru comme un boulet. A bientôt