Dm math spé : division euclidienne

J'ai des difficultés pour mon dm que voici :

Enoncé

**1.**Soit n un entier naturel.
Démontrer que le reste de la division euclidienne de
2^n + 2^(n-1) +.....+ 2 + 1
par 2^n
est 2^(n-1) +.....+ 2 + 1.

Réponses
J'utilise la formule a=bq+r avec :
a = 2^n + 2^(n-1) +.....+ 2 + 1
b = 2^n
r = 2^(n-1) +.....+ 2 + 1

On m'a dit de faire la relation avec une suite géometrique mais je ne vois pas comment faire du tout.

Alors si vous avez une idée. Merci d'avance.

Bonjour,
Tu sais calculer la somme : 1 + a + a² +...+ $a^{n-1}$
Qu'est-ce que cela donne pour a = 2 ?
Il te restera alors à vérifier que r < b

Merci .Si je comprends bien, on fait la somme des 1er termes d'une suite géometrique.
S=1*(1-q^(n+1))/(1-q)
je suppose que q=2
S=(1-2^(n-1+1))/(1-2)
S=(1-2^n)/-1
S=-1+2^n
Si je n'est pas fait de faute, je vois pas comment je dois conclure et comment on prouve que c'est une suite géometrique ?
r<b donc 2^(n-1) +.....+ 2 + 1 < 2^n ............. ?

$S_{n-1}$ = 1 +2 +2² + ... + $2^{n-1}$ = $2^n$ - 1
et $S_n$ = 1 + 2 + 2² +...+ $2^n$ son t des suites géométriques : rien à prouver : il suffit d'observer.
Ensuite : $S_{n-1}$ = $2^n$ - 1 , donc $S_{n-1}$ < $2^n$ , donc en revenant à tes notations : r < b
Pour l'égalité de la division euclidienne , reste à voir quel est le quotient .

a=bq+r
-1+2^(n+1)=2^n*q-1+2^n
donc q=(-1+2^(n+1)+1-2^n)/2^n
q=(2^(n+1)-2^n)/2^n
q=1
es ce bon ?

Oui mais c'est trop compliqué :
a = $2^n$ + $2^{n-1}$ + ...+ 1)
a = $1<em>2^n$ + r
a = 1b + r
Sans oublier ce qui est fondamental : r < b

soit N un entier naturel strictement positif. demontrer que N peut s'ecrire de facon unique comme une somme de puissance de 2.
je vous montre le debut de mon raisonnement en cascade:
N est soit pair soit impaire -si N est pair:N/2=q -si N est impair:N/2=q avec un reste de r=1
donc N=2q ou N=2q+1
ensuite, q est soit pair soit impair -si q est pair:q/2=q1 -si q est impair:q/2=q1 avec un reste r=1
Donc q=2q1 ou q=2q+1
D'ou N=2^2q1 ou N=2^2q1+2 ou N=2^2q1+1 ou N=2^2q1+2+1

On a donc N>q>q1>q2…..

et je continu ainsi de suite,( j ai aussi fait avec q2 mais ca continu comme ca a commencé, a par qu au lieu d avoir 4 solution j en ai 8), comme ca ,ca peut durer tres longtemps, donc voila, si les quelques personnes qui ont compris ce que j ai ecrit pouvais me dire comment terminer mon raisonnemnet ou comment faire cela plus rapidemant ce serait cool

C'est vrai seulement à partir de N = 1
Sauf si l'on fait la remarque suivante :
une somme de puissance de 2 est une écriture de la forme
$a$ _n $2^n$ + ... + $a$ _1 $2^1$ + $a$ _0 $2^0$ , où les $a_i$ valent 0 ou 1 .
Il s'agit en fait de l'écriture du nombre en base 2.
Il est facile de démontrer le résultat par récurrence sur N : il faut poser correctement l'hypothèse de récurrence.

D'abord, je voulez vous remercier de votre aide précieuse .
Mais Désolé je ne comprend pas vraiment

Par exemple, pour N = 3 : 3 = $1<em>2^1$ + $1</em>2^0$
Pour n = 4 : 4 = 2² = 12² + $0</em>2^1$ + $0*2^0$

H.R : supposons la propriété vraie pour tous les entiers inférieurs à N
ta division euclidienne par 2 donne N = 2*q+ r , avec r = 0 ou 1.
Et HR est vraie pour q car q < N comme tu l'avais remarqué.
Donc q = $2^p$ + $a$ _{p-1} $2^{p-1}$ + ... + $a$ _0 $2^0$
Il n'y a plus qu'à remplacer dans l'expression de N

Encore une fois merci beaucoup

De rien
A+

Reboujour, j'ai encore un problème.Pour la question 1, on doit trouver le reste. Donc je fait les deux suites géomtriques mais normalement il faudrait trouver la valeur de q dans "a=bq+r" avant de faire :
$- 1 + 2$ ^{n+1} $2^n$ -q+r
$- 1 + 2$ ^{n+1} $2^n$ =r
$1+2^n$
et là on prouve vraiment que r = $1+2^n$ mais avant il faut trouver q Comment fait-on ?

On te demande uniquement le reste.
Mais on avait déjà trouvé le quotient :
Citation
a=bq+r
-1+2^(n+1)=2^n*q-1+2^n
donc q=(-1+2^(n+1)+1-2^n)/2^n
q=(2^(n+1)-2^n)/2^n
q=1
es ce bon ?

Citation
Oui mais c'est trop compliqué :
a = 2n + (2n-1 + ...+ 1)
a = 12n + r
a = 1b + r
Sans oublier ce qui est fondamental : r < b

Oui mais on se sert déja du reste alos qu'on ne le pas encore trouvé. NON ?

Non : relis
l'ensembledu raisonnement.
Je dois maintenant me déconnecter.
A+