Spé Maths : Divisibilité

Bonjour,

J'ai un DM de spé Maths à faire et j'ai beau chercher, je ne trouve pas comment commencer !!

Le but est de montrer qu'une suite est divisible par 12.
n ∈ aux entiers naturels et un = n² (n+1)² (2n²+2n-1)

Les carrés des deux premiers facteurs me gênent et je ne vois vraiment pas comment démarrer ... J'ai pensé à un raisonnement par disjonction des cas mais les carrés me bloquent !!

Si vous pouviez m'aider, ce serait vraiment gentil
Je vous remercie par avance.
Bonne soirée

salut

as-tu essayé par récurrence ? c'est fondé pour n=1...

si u_n = n²(n+1)²(2n²+2n-1) est divisible par 12, est-ce que on peut en déduire que u_{n+1} l'est aussi ?

Bonjour,
Tu peux aussi utiliser les congruences :

Montre que $U_n$ est toujours multiple de 4
Selon que n est congru à 0 ou 1 ou 2 modulo 3, montre dans chaque cas que $U_n$ est multiple de 3
4 et 3 étant premiers entre eux, conclusion.

Bonjour !!

J'ai essayé les congruences (je ne connaissais pas ce mot), j'arrive à montrer que Un est multiple de 4 mais je suis bloquée pour démonter qu'il est multiple de 3 !!
J'avais également songé à la récurrence mais mon problème est de savoir si le prof nous autorise à utiliser cette méthode pour cet exercice ou pas !!
Je vous remercie pour votre aide, je reposterai pour vous informer si mes essais ont abouti à des résultats !!

Il s'agit d'entiers relatifs :
a et b sont congrus modulo n <=> a-b est un multiple de n
<=> a et b ont le même reste dans la division par n
Ainsi, 5 et 11 sont congrus modulo 3.
On écrit : 5 ≡ 11 [mod 3] ( il existe d'autres notations )

Merci pour ce petit éclaircissement, je pourrai épater mon prof la prochaine fois

Ce n'est pas le but.
Citation
2) Selon que n est congru à 0 ou 1 ou 2 modulo 3, montre dans chaque cas que Un est multiple de 3

Je le fais pour n ≡ 0 [mod 3] :
n ≡ 0 [mod 3] signifie que n est un multiple de 3
Donc n² aussi
Or $U_n$ est multiple de n²
Donc $U_n$ est multiple de 3.

Essaie quand n ≡ 2 [mod 3] ( c'est aussi facile )
Puis quand n ≡ 1 [mod 3] ( c'est un peu plus long )

Je pense mettre trompée en vous disant que j'avais utilisé les congruences parce que je n'ai jamais vu cette méthode !! J'ai confondu avec le raisonnement par disjonction des cas ... Je suis désolée :frowning2:

Regarde mieux : j'ai aussi séparé l'étude en 3 cas.
Si tu ne connais pas les congruences, tu n'es pas obligé de les utiliser .

Premier cas : si n est un multiple de 3 : c'est ce que j'ai fait
Second cas : si n est le la forme 3k+2 (( multiple de 3 ) + 2)
Troisième cas : si n est de la forme 3k + 1

Ah d'accord !! D'où les n=0, n=1 et n=2 !!

Oui, mais ce ne sont pas des égalités.

Premier cas : n peut valoir 0 , 3 , 6 , 9 , 12 , ...
Second cas : n peut valoir 2 , 5 , 8 , 11 , ...

Oui car ce sont des multiples de 3 et c'est pour cela qu'on indique [mod 3].

Seulement dans le premier cas.
Laisse les congruences si tu ne les a pas apprises.
Regarde plutôt le raisonnement que j'ai fait dans le premier cas.

mathtous

Premier cas : si n est un multiple de 3 : c'est ce que j'ai fait
Second cas : si n est le la forme 3k+2 (( multiple de 3 ) + 2)
Troisième cas : si n est de la forme 3k + 1

Celui-ci ?

Celui_là :
Si n est un multiple de 3
alors n² aussi
Or Un est multiple de n²
Donc Un est multiple de 3.

A toi :
Si n est de la forme 3k + 2
alors ...

alors n est un multiple de 3
alors n² aussi
or Un est multiple de n²
Donc Un est multiple de 3 ??

Non : si n = 3k+2 ( k étant un entier ), il ne peut pas être multiple de 3
Par exemple : n= 23 = 3*7 + 2 ( ici , k = 7) : 23 n'est pas un multiple de 3.

Mais si n = 3k +2 ,
quiest un multiple de 3 ? ( pas n , mais ... )

n+2 est multiple de 3 !!

Non : car n+2 = 3k+2+2 = 3k+4 = 3h + 1
Exemple, reprend n = 23 : 23+2 = 25 n'est pas un multiple de 3.

Ah mais oui c'est n-2 !

Oui, mais il n'y a pas de n-2 dans l'expression de $U_n$ .
Cherche autre chose.

n-2 = (n+1)-3

Tu ne répons pas à la question.

Si n = 3k+2 alors
on vu que n n'est pas multiple de 3
Ni n+2
Alors
qui? (n-2 , oui, mais ça n'aboutit pas )

Je dois trouver un nombre égal à n-2 qui ferait apparaître un terme de Un ?

Non.
Tu dois me dire qui est un multiple de 3

Si n = 3k+2 , alors n+1 = ??

n+1 = 3k+3
n+1 = 3(k+1)

Donc n+1 est de la forme 3 fois un entier :
n+1 est un multiple de 3

Je résume :
Si n = 3k+2 , alors n+1 est un multiple de 3
Donc ... essaie de continuer en prenant modèle sur ce que j'ai fait ici :
Citation
Si n est un multiple de 3
alors n² aussi
Or Un est multiple de n²
Donc Un est multiple de 3.

Si n+1 est un multiple de 3
alors (n+1)² aussi
Or Un est multiple de (n+1)²
Donc Un est multiple de 3

Oui

Reste le dernier cas
Si n = 3k+1 alors ...
Je te conseille de calculer cette fois la troisième parenthèse, et de regrouper tous les multiples de 3

Si n = 3k+1 alors la troisième parenthèse vaut : 2(3k+1)² + 2(3k+1) -1 = 18k² + 18k -1

Non : les deux premiers termes sont justes, mais pas le dernier ( -1 )

Comment puis-je calculer le (-1) puisqu'il ne dépend pas de n ?

Ce n'est pas ce que j'ai dit : le calcul de la parenthèse est faux : on a bien 18k²+18k + ??? ( pas -1) : tu dois juste revérifier ton calcul.

Désolée, faute d'étourderie : 18k² + 18k + 3 = 3(6k² + 6k + 1)

Donc on obtient encore un multiple de 3.
Donc aussi Un .

En résumé :
Dans tous les cas ( il y en avait 3 ) : Un est un multiple de 3

Tu dis avoir traité les cas pour démontrer que Un est toujours un multiple de 4.
or 4 et 3 sont premiers entre eux ( c'est fondamental pour conclure ) , donc Un est multiple de 3*4 = 12

Je dois maintenant me déconnecter .
A+

Vous m'avez été d'une aide précieuse !! Je vous en suis très reconnaissante.

Je vous remercie et vous souhaite une bonne soirée.