Démontrer qu'une suite est géométrique

Salut,
j'ai un devoir maison à rendre, il y a 3 exos et je ne trouve pas la première question de l'exo 1. Voila ce que ça dit :

-On note u la suite définie pour tout entier naturel n par : $u_0$ et $u_{ n+1}$ = $au_n$ + b avec a ≠ 0 et a ≠ 1
-On note v la suite définie pour tout entier naturel n par $v$ _n $u_n$ - x avec x réel.
Questions :
1 Démontrer que si x= b/(1-a) alors v est géométrique et préciser sa raison.
2 Démontrer que si v est géométriqyue alors x=b/(1-a)

Voila j'espère avoir de l'aide.

salut

1. calcule

$vn+1=un+1−b1−a=aun+b−b1−a=...v_{n+1} = u_{n+1} - \frac{b}{1-a} = a u_n + b - \frac{b}{1-a} = ...$

au final tu vas voir que c'est un multiple de v_n.

merci
je vais y réfléchir

Zauctore
salut

1. calcule

$vn+1=un+1−b1−a=aun+b−b1−a=...v_{n+1} = u_{n+1} - \frac{b}{1-a} = a u_n + b - \frac{b}{1-a} = ...$

au final tu vas voir que c'est un multiple de v_n.

Je met sous le même dénominateur

$V$ _{n+1} $aU_n$ +b -(b/(1-a))
$aU_n$ +b)×(1-a)]/(1-a) - (b/1-a)
$aU_n$ +b-a² $U_n$ -ba) / (1-a)

et la je bloque, je ne peux plus rien faire

re.

à mon avis, vu ce que l'on veut obtenir, il y avait mieux à faire :

b - b/(1-a) donne tout simplement ...
@ toi

donc a u_n + b - b/(1-a) = ...
@ toi aussi !

merci beaucoup
je vais voir.

b-b/(1-a)= -ab/1-a
et Un= Vn + x
merci en tout cas

oui enfin c'est surtout que l'on a $vn+1=avn\small v_{n+1} = a v_n$ ...

merci, je rends aujourd'hui

oui, d'accord.

et donc tu as compris le principe de la question 1 ?

on n'a pas envisagé la réciproque...

oui j'ai compris comment faire.
Mais je n'ai pas abouti à un résultat correct. j'ai trouvé aVn + qqchose
Personne n'a réussi cet exo dans la classe, ça veut dire que c'est pas de ma faute :razz:

non, vous avez obtenu

$vn+1=un+1−b1−a=aun+b−b1−a=aun−ab1−av_{n+1} = u_{n+1} - \frac{b}{1-a} = a u_n + b - \frac{b}{1-a} = a u_n - \frac{ab}{1-a}$

évidemment cela donne

$vn+1=a(un−b1−a)=aun+1v_{n+1} = a \left(u_n - \frac{b}{1-a}\right) = a u_{n+1}$

ce qui prouve que la suite (v_n) est géométrique de raison a dans ce cas.

ok! merci