Représenter une équation à l'aide des fonctions

Bonjour, voici un DM que je n'arrive pas à faire, pourriez vous m'aidez svp ?

On se propose de représenter la courbe Ce d'équation (x-2)²+9(y+5)²=9
notée (e) dans un repère orthonormée (O,i,j) et étudier quelques particularités de cette courbe.

Partie A :
Ne disposant que de fonctions numériques pour déterminer la représentation Ce, nous commencons par examiner les possibilités de se ramener à des écritures de la forme y=f(x).

Montrer par des transformations algébriques de (e) que l'équation de Ce est équivalente à "y=A(x) -5 ou y= -A(x) -5" en précisant A(x) et l'ensemble des valeurs de x pour lesquelles cette expression est définie.
On considere la fonction f définie sur I = ] -1 , 5[ par f(x) = A(x) -5.
a/ démontrer que la droite D d'équation x=2 est axe de symétrie pour la courbe Cf représentative de f.
b/ démontrer que f est dérivable sur ]-1;5[.
c/ étudier la dérivabilité de f en 5. Quelles conclusions graphiques en déduit on ?
d/ étudier les variations de f sur [2;5[

Partie B :

Expliquer le tracer de Ce et le réaliser dans le meme repere que celui de Cf.
Le but est de déterminer maintenant une relation entre Ce et un cercle particulier.
a/ déterminer l'équation du cercle T de centre ohm(2;-5) tangent à Ce en ces points d'ordonnée 0.
b/ on considère un point M de T d'abscisse x et un point M' de Ce d'ordonnée positive et de meme abscisse. On considère le point m le point de coordonnée (x;-5), montrer que le rapport (mM') / (mM) est constant.
c/ déterminer une relation entre les vecteurs mM' et mM (flèche pour vecteurs)
d/ en déduire une construction des points de Ce à partir de ceux de T.

Meme si vous n'arrivez pas tout, chaque explications est essentielle pour moi, voilà merci beaucoup

salut

c'est un sujet assez ancien, ça !
Partie A

Montrer par des transformations algébriques de (e) que l'équation de Ce est équivalente à "y=A(x) -5 ou y= -A(x) -5" en précisant A(x) et l'ensemble des valeurs de x pour lesquelles cette expression est définie.
qu'as-tu essayé à partir de ça : (x-2)² + 9(y
+5)² = 9 ? en vue de y = A(x)

5bien entendu.

j'y ai pensé, mais le fait que ce soit au carré me dérange finalement
car c'est une identité remarquable
ou alors je ne vois pas comment procéder

à quelle condition peux-tu passer de

$x-2)^2 + 9(y+5)^2 = 9$

à

$\frac{\sqrt{9 - (x+2)^2}}3$

ah !!

tu trouves y = (5-x)/ 3 - 5
d'où A(x) = (5-x)/ 3

??

Si c'est ça merciii !!

je ne trouve pas la même choqe que toi du tout

fais de l'algèbre :

(x-2)² + 9(y+5)² = 9 devient 9(y+5)² = 9 - (x-2)² et ensuite ...

Je te détail mon calcul :

(x-2)² + 9(y+5)² = 9
9(y+5)² = 9 - (x-2)²
(y+5)² = (9 - (x-2)²) / 9

y+5 = rac ( (9-(x-2)²) / 9 )

sachant que rac ( 9 - (x-2)²) = 3 - (x-2) (de la forme a² - b² non ?)

d'ou y+5 = (3 - (x-2)) / 3
donc y = ((5 - x)/ 3) / 5

que trouves tu ? j'ai peut etre fais une erreur quelque part c'est possible
merci beaucoup en tout cas de ton aide !

bourgeoise21
(x-2)² + 9(y+5)² = 9
9(y+5)² = 9 - (x-2)²
(y+5)² = (9 - (x-2)²) / 9

Salut,

Jusque là, ça me semble correct.

Mais pour écrire : y+5 = √(quelque chose), il faut une condition sur ce quelque chose ! (revoie le post de Zauctore du 23 à 21:30)

Tu as remarqué que (9 - (x-2)²) était de la forme a² - b². tu peux donc transformer (9 - (x-2)²) avec a² - b² = (a+b)(a-b)
Ca va t’être utile pour déterminer " l’ensemble des valeurs de x pour lesquelles cette expression est définie " pour reprendre les termes de l’énoncé.

bourgeoise21
rac ( 9 - (x-2)²) = 3 - (x-2)

Aie ! Attention √(a²-b²) ≠ a-b

Repars proprement de :

(y+5)² = (1/9) (9 - (x-2)²)

(y+5)² = (1/9) (3² - (x-2)²) et utilise l’id remarquable.

Et avant d’isoler y+5, rejette un œil à la fonction x --> √x, notamment à son ensemble de définition.

j'en arrive à :

(y+5) = rac (3² - (x-2)² ) / 3
puisque 3² - (x-2)² est de la forme a²-b² :

(y+5) = rac ( ( 3² - (x-2)² ) ( 3² + (x-2)² ) / 3

mais là je bloque, je ne vois pas comment finir si ce que j'avais fais aupravant était faux.

D’accord, alors :

(y+5)² = (1/9) (9 - (x-2)²)

(y+5)² = (1/9) (3² - (x-2)²)

(y+5)² = (1/9) (3 + (x-2)) (3 - (x-2)) en utilisant l’id remarquable a² - b² = (a+b)(a-b)

(y+5)² = (1/9) (x+1) (-x+5)

Ici, on veut y+5 et là tu bloques. Alors un peu de cours

Si on étudie une équation du type X²=a

Il faut que a≥0 car dans $mathbb{R}$ , un carré est positif ou nul

Si a≥0 alors l'équation a
2 solutionsX=√a ou x=-√a

Si a<0 alors l'équation n'admet aucune solution.

On reprends l'exo à ce stade

(y+5)² = (1/9) (x+1) (-x+5)

Pour que l'expression (e) soit définie, il faut que :
(1/9) (x+1) (-x+5) ≥ 0

et c'est là qu'on voit l'intérêt d'avoir factoriser (étude dusigne)

A l'aide d'un tableau de signe ... que je te laisse faire, tu déduis que (e) n'est définie que pour x ∈ [-1 ; 5] et dans cet intervalle :

(y+5)² = (1/9) (x+1) (-x+5) ⇔

| y+5 = √[(1/9) (x+1) (-x+5)]
| ou
| y+5 = - √[(1/9) (x+1) (-x+5)]

soit

| y = √[(1/9) (x+1) (-x+5)] - 5
| ou
| y = - √[(1/9) (x+1) (-x+5)] - 5

d'où A(x) = √[(1/9) (x+1) (-x+5)]

Te voilà débloquée pour cette première question ...

Bon courage

Sérieux merci beaucoup, je n'aurais jamais pensé à ça, c'est super gentil de ta part.
Je vais essayé de faire le reste, je te dirais ce que j'ai fais, si ça ne te dérange pas de corriger mes erreurs.
Merci encore ! mille fois !!

Pas de quoi.

Ce n'est peut-être pas utile (je n'ai pas fait l'exo), mais tu peux aussi exprimer A(x) comme ceci :

A(x) = 1/3 √(x+1) √(-x+5)

Puisque sur I = [-1 ; 5], (x+1) et (-x+5) sont tous deux positifs.

Bon we

Bonsoir!
Bonne nouvelle, j'ai réussit à finir la partie A de ce DM. Le problème, est que je bloque aux questions b et c de la partie B.
Je dois le rendre demain, s'il vous plait aidez moi !!
merci d'avance !